密度相关型不可压缩Darcy定律的定性推导

多孔介质流体均匀化是经典问题，当区域被大量微小孔洞穿孔时，流体的宏观极限行为由均匀化方程描述。已有工作大多针对齐次（常密度）不可压缩流体或可压缩流体，且主要集中在临界、次临界孔洞尺寸。超临界尺寸孔洞 (孔径 )、非齐次（变密度）不可压缩Navier–Stokes方程的均匀化尚未被研究，是空白领域。

由于传统均匀化方法（紧致性、检验函数）无法处理密度-速度耦合项的极限，连续性方程成为核心难点。本文目标是：严格推导非齐次不可压缩流体在超临界穿孔区域的宏观极限方程，即密度相关的Darcy定律。

对于三维超临界多孔区域上的非齐次不可压缩Navier–Stokes方程，当时，弱解收敛到密度依赖型不可压缩Darcy系统。主要包括：

1. 收敛速率（定量结果）

环形区域：速度与密度的误差由初始误差、、控制。

有界区域：因边界条件不匹配，引入边界层修正，收敛速率由替代。

2. 压力收敛

给出延拓压力在负指数Sobolev空间中的收敛速率，完整刻画收敛性。

3. 极限系统强解存在性

独立证明密度相关型Darcy定律系统存在局部唯一强解，使全文理论自封闭。

本文首次完成三维超临界+非齐次不可压缩Navier–Stokes方程的均匀化理论，填补重要空白。成功用相对能量方法突破密度-速度乘积极限难题，拓展均匀化分析工具。同时给出定性收敛+定量速率+强解存在，体系完整。从数学上严格推导出密度相关Darcy定律，为地下水、石油渗流、材料内部流场等实际多孔介质流动的研究提供精确的宏观模型支撑。

作者简介

Danica Basarić，博士毕业于柏林工业大学，现任米兰理工大学数学系Tenure-track研究员 (Researcher in tenure-track)。主要研究方向包括流体力学偏微分方程：可压缩Navier–Stokes方程、Navier–Stokes–Fourier系统、量子流体模型；适定性理论：弱解/强解存在性、弱-强唯一性、消失黏性极限；数值分析：有限体积法、有限元方法的误差估计与收敛性分析。

Florian Oschmann, 博士毕业于德国多特蒙德工业大学，现任捷克查理大学数理学院研究员 (Faculty of Mathematics and Physics, Charles University)。主要研究可压缩流体偏微分方程，聚焦均匀化理论、多孔/穿孔区域流体模型，同时开展Navier–Stokes–Fourier系统、低Mach数极限、Brinkman/Darcy渗流定律及分层流体、流体-刚体作用研究等。

潘娇娇，博士毕业于南京大学数学学院，现于北京应用物理与计算数学研究所从事博士后工作。主要研究多孔区域中可压缩/不可压缩流体的均匀化问题，几何光学中的小参数极限问题及WKB解的不稳定性问题。

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