2月24日，作为全球历史最悠久、影响力最大的大众科学杂志之一的《Scientific American》（科学美国人）专门报道了一项来自3位中国学者合作的最新重磅成果，下面我们来简单了解一下。
该文章以“Mathematicians make a breakthrough on 2,000-year-old problem of curves（数学家在有2000年历史的曲线难题上取得突破性进展）”为题在《Scientific American》进行了重点报道。文章介绍到：数学家们刚刚在他们一直以来最钟爱的难题之一上取得了重大突破，即曲线问题。尽管人们对它们的研究已有数千年历史，但数学家们仍未解答关于它们的一些基本问题。下面是我们摘译的部分内容：
数论学家尤其致力于寻找曲线上那些坐标为整数或分数的特殊点（位于x-y网格上）。这些稀有的点通常以复杂而有意义的方式相互关联。哈佛大学Gerhard Gade讲席教授，著名数学家Barry Mazur说：“我们是数学家，我们关心结构”。这种结构有时可能很有用；例如，所谓椭圆曲线上的有理点催生了密码学的整个分支。
但存在着大量不同的曲线，由众多无穷族组成，每一条曲线都有自己的有理点结构。数论学家一直梦想找到一个适用于每条曲线的具体数学规则。但这样一个通用的公式长期以来一直难以捉摸。
几周前，情况发生了变化。在2月2日上线的一篇预印本论文中，三位中国数学家首次为任何曲线可能拥有的有理点数量给出了严格的上限，其数学上的影响将是无限的。文中提到的文章便是由北京大学袁新意教授与北京大学在读博士生虞家伟（导师袁新意）、现法国图卢兹大学博士后周胜铉（原北大博士生，导师田刚）合作的最新研究成果。该研究证明了数域上亏格至少为二的光滑射影曲线有理点数量的显式上界。据了解，该研究结合微分几何的方法，从而证明了Mordell猜想的量化版本，并第一次给出了Faltings定理中有理点个数上界的显式估计。
智利天主教大学数学家Hector Pasten（未参与此项工作）表示："这确实是一个惊人的成果，为未来的研究设定了新的标准。"有限还是无限？曲线在数学上由称为多项式的简单方程表示。它们本质上就是少数几个变量相乘相加得到的表达式。
以方程x² + y² = 1为例。如果x和y是坐标平面的两个轴，那么这个方程就代表一个圆。圆上的每一个点都对应这个方程的一个不同解。例如，x=1且y=0的点，记为坐标对(1, 0)，就在圆上：如果你把这些x和y的值代入方程，你会得到1=1，这是一个有效的解。
有些解，包括(1, 0)和(3/5, 4/5)，是"有理的"，意味着x和y要么是整数，要么是整数的比值。其他的解，比如(1/√2, 1/√2)，是"无理的"。将这些x和y的值代入方程，你会得到一个有效的解——坐标正好落在圆上。但是你永远无法用整数及其比值来表达它们。
古希腊数学家热衷于寻找曲线上的有理点。他们想知道一条给定的曲线有多少个这样的特殊点。这是数学中最简单的问题之一，却困扰了数学家们数千年。"这些问题位于数论的核心"图卢兹数学研究所的数学家、这项新成果的合著者周胜铉说。
取自Scientific American
圆——一种特定的曲线——有无限多个有理点。对于任何其他x或y的幂次不超过2的曲线也是如此。这些"2次"方程要么根本没有有理点，要么有无限多个。次高一度（3次）曲线上的有理点数量，有时是无限的，有时是有限的。
但在1922年，Louis Mordell提出了一个著名的猜想，指出对于更高次的方程，情况会发生急剧变化。该猜想断言，当曲线的次数为4次或更高时，其上的有理点数量总是有限的。61年后，Gerd Faltings（格尔德·法尔廷斯）证明了Mordell是正确的；他因此被授予数学界最高荣誉——菲尔兹奖。但Mordell猜想（现在称为Faltings定理）并未说明这些曲线具体有多少个点。
自那时起，数学家们一直在寻找一个能回答这个问题的公式。"我们只知道存在一个公式，"Pasten说。"它就在那里，这很好，但我们想要得到它。"这正是新证明的切入点。三位中国作者提出了一个可以应用于数学领域中任何曲线（无论其次数高低）的公式。它没有精确说明该曲线有多少个有理点，但给出了这个数量的一个上限。
以往这类公式要么不适用于所有曲线，要么依赖于定义曲线的特定方程。这个新公式是自Faltings证明以来数学家们一直期盼的，它是一个“统一”的表述，适用于所有曲线，且不依赖于其方程中的系数。“这个单一的陈述让我们获得了广泛的理解，”Mazur说。
它仅取决于两件事。首先是定义曲线的多项式的次数——次数越高，该表述的约束力就越弱。公式所依赖的第二个因素被称为“雅可比簇”，这是一个可以从任何曲线构造出来的特殊曲面。雅可比簇本身就很有趣，而该公式也为研究它们提供了一条诱人的途径。
这项新成果是朝着了解曲线上有多少个点迈出的第一步，而不仅仅是判断它们是否有无穷多个点。“前方还有更多的问题，”Pasten说，“我们现在可以设定更远大的目标了。”
曲线也仅仅是理解由方程勾勒出的数学形状世界的第一块基石。包含除x和y之外更多变量的多项式方程可以生成更复杂的对象，例如曲面，或它们在更高维度上的类似物，称为“流形”。流形是现代数学以及理论物理学的核心，在理论物理学中，它们被用来描绘空间和时间。
所有这些关于有理点的问题，对于那些更高维度的对象也同样重要。例如，Pasten和数学家Jerson Caro在2023年的一篇论文中，就对某些曲面上的有理点数量设定了上限。这项新成果让Pasten看到了在这一更广泛探索中取得进一步进展的希望。
这一发现是近期关于曲线上有理点的若干新成果之一。综合来看，这一波进展可能标志着这个延续千年的探索故事翻开了新篇章。“这是一个令人兴奋、快速发展的领域，”Mazur说。“现在正有大事发生。”
本研究的作者为三位中国学者，其中袁新意我们已经多次介绍过了，近两年他也是成果不断，他也是有着“华人菲尔兹奖”的ICCM数学奖金奖的三位新科得主之一。今年1月他独作的重要成果在数学四大顶刊的《Annals of Mathematics》（数学年刊）上正式发表（该文章也是本次研究的重要基础），详见：开门红！2026年首篇数学四大，北京大学袁新意和中科院数学院田野研究成果均正式见刊；而在本月初，他和谢俊逸合作的重要成果又被另一本数学四大顶刊《Acta Mathematica（数学学报）》正式接受，详见：强！北京大学袁新意和谢俊逸合作的重要成果被数学四大顶刊的《Acta Mathematica》接受。而本次这项研究，其重要性也够得上任何一本数学期刊。在今年即将召开的国际数学家大会上，袁新意也将作45分钟报告。
本研究作者之一的虞家伟，他是袁新意指导的在读博士生。虞家伟也是一名竞赛生，他高中时曾在多个数学竞赛中取得金牌（多次第一名），其中就包括了中国数学奥林匹克（CMO）金牌。他2018年从南昌市第二中学进入北大数院，在北大数院期间他也是成绩优异，20余门专业课在90分以上，其中3门满绩。虞家伟在本科期间就跟随当时刚回国不久的袁新意，并且成绩亮眼的他没有选择出国深造，而是在北大继续跟袁新意读博。值得一提的是虞家伟的本科毕业论文就是学习Faltings对Mordell猜想的证明，这也让他对该重要猜想产生了好奇，而如今他也与导师一起在该猜想上做出了重要贡献。
本研究另外一位作者周胜铉，他生于1998年，他高中时应该不是专门搞竞赛的，但拿过高中数学联赛省一等奖，他在兰州大学数学与统计学院读本科的时候才积极参与各类数学竞赛（他还曾纠结过是否就读数学专业），并曾获第八、九届全国大学生数学竞赛（数学专业）决赛一等奖、还曾获丘成桐大学生数学竞赛代数、数论及组合方向的优胜奖、阿里巴巴全球数学竞赛铜奖（兰大历史最好成绩）等奖项。这些成绩对于一名进入大学后才开始正式接触高等数学的“新手”来说是相当难得的。也因为其优异的成绩，他从兰大推免至北京大学读研，而他博士阶段的导师正是著名数学家，中科院院士田刚；博士期间他又获得了阿里巴巴全球数学竞赛的银奖。2024年，周胜铉从北京大学博士毕业，其毕业论文还获得了北京大学优秀博士学位论文。周胜铉目前在法国图卢兹大学（图卢兹数学研究所）进行博士后研究，他主要从事复几何与黎曼几何等领域的研究。
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