1月28日，国外著名的《Quanta Magazine》（量子杂志）更新了1篇涉及了两位年轻华人学者的文章。该文章以“Networks Hold the Key to a Decades-Old Problem About Waves（网络是解开一道数十年波动难题的密钥）”为题进行报道。该文的主要意思就是，傅里叶变换是数学家最常用、最强大的工具之一，但其基本性质仍未被完全理解。四位学者从图论的结论入手，为这一长期目标带来了令人振奋的突破。下面是我们摘译的部分内容：
两百年前，约瑟夫·傅里叶（Joseph Fourier）为数学家们提供了一项神奇的技术。他推测，几乎任何函数都可以写成简单波的叠加，这一技巧如今被称为傅里叶变换。1965年，数学家Sarvadaman Chowla（乔拉）提出了这样一个问题。他想知道，一种极为简单的傅里叶变换——余弦波叠加——能小到什么程度。该问题看似直接明了，但几十年来一直没有大的进展。2025年9月，来自瑞士苏黎世联邦理工学院（ETH）的博士生金之涵、Aleksa Milojevi´c、瑞典于默奥大学的istván tomon教授和斯坦福大学的博士生张盛桐合作，发布了20年来该问题上的首个重大进展。他们的策略几乎与传统傅里叶分析无关。
用集合中的每个数字定义一个余弦波——例如，2给出cos(2x)，对于任何由N个整数组成的集合，其找到其最大值很容易。当x为零时，任何余弦波都达到其最大值1。所以1000万个余弦波之和的最大值是1000万，对于任何由N个整数组成的集合，最大值就是N。然而，理解余弦和的最小值却出奇地困难。虽然不同的波至少在某一时刻（当x为零时）同时达到最大值，但最小值却并非如此。也许不同波的低谷仍会有足够多的重合，从而产生一个非常低的和。又或许这些波会相互干扰，使得和不可能降得太低。
取自Quanta Magazine
此前该问题的进展一直不大，直到上面提到的四位目前在欧美学习和工作的学者在图论的一个最核心问题上取得了积极进展。“最大割”（MaxCut）问题关注的是将图分成两部分的最优方式，使得连接这两部分的边尽可能多。这是一个关于图结构的基本问题，具有实际应用：例如，图的最大割可能代表一种高效的电路设计，或者粒子系统的最低能量状态。目前还没有一种万能的通用方法来找到一个图的最大割。因此，数学家们转而尝试估计特定类别图的最大割。
取自Quanta Magazine
2003年，苏黎世联邦理工学院的数学家Benjamin Sudakov（他也是金之涵、Aleksa Milojevi´c和istván tomon的导师）提出了一个关于特定类型图最大割的猜想。这种图没有团——即没有所有节点都相互连接的节点簇。去年7月，在该猜想提出20多年后，张盛桐证明了这类图最大割的一个新界限；几天后，金之涵、Aleksa Milojevi´c和istván tomon改进了他的结果。
取自Quanta Magazine
为了做到这一点，研究人员研究了被称为特征值的重要量。特征值提供了关于图结构的信息。例如，最大特征值计算图中的边数；第二大特征值衡量图的连通性。金之涵、Aleksa Milojevi´c、istván tomon和张盛桐专注于负特征值，基于最近一项将它们与图的最大割联系起来的研究。他们对这些特征值的分析最终使他们能够证明新的结果。四位学者决定将他们各自的结果合并成一篇联合论文，但在完成之前，他们意外地收到了一封关于乔拉余弦问题的电子邮件。这封电子邮件来自普渡大学的数论学家Ilya Shkredov，他指出乔拉的余弦问题可以用图来重新表述。不是团队正在研究的一般类型的图，而是数学家Arthur Cayley在1878年发明的一种特殊类型的图（凯莱图）。
凯莱图（从一堆节点开始，只要是质数并且大于集合中的最大整数即可，将节点排列成一个圆圈，每个节点标上一个整数。然后，如果两个节点之间的差在原始集合中，就在它们之间放一条边）的结构中嵌入了来自乔拉问题的傅里叶级数信息。事实证明，凯莱图的特征值正好对应于余弦和可以取的不同值。因此，最小的特征值告诉你余弦和能降得多低。这样就不再需要直接分析特征值。相反，只需要证明凯莱图没有任何大团。那将意味着这些图各自都有一个非常低的特征值，最终使他们能够利用乔拉猜想和图论之间的联系。
取自Quanta Magazine
去年9月，四位合作将最新的联合文章发表在预印本平台上，该论文主要侧重于如何分析图的最低特征值——这项工作首先使他们能够加强几个月前在无团图的最大割方面发现的界限。他们的首要成果是关于乔拉的余弦问题。他们证明了，对于任何由N个整数组成的集合，相应的余弦和达到一个低于-N1/10的值。对于任何实际的N值，-N1/10与Ruzsa几十年前的界限相差不大。但对于巨大的N值，比如1020，差异开始变得明显：金之涵、Aleksa Milojevi´c、istván tomon和张盛桐表明，10^20个余弦之和会滑落到-100以下，而相比之下，Ruzsa的界限是-7。
四位学者从一个关于图的结果出发，出乎意料地对一个看似无关的问题获得了新的见解。四位的论文上传两天后，剑桥大学的数学家Bedert使用傅里叶分析中更传统的方法，也发布了他自己对问题的进展，他的结果比四位的结果略胜一筹。这两个结果都标志着首次有一个经过证明的估计与乔拉猜想的界限具有相同的形式。也就是说，新的界限和乔拉的界限一样，都可以写成N的幂次形式。
尽管两个证明都没有完全弥合差距以证明乔拉的猜想，围绕傅里叶变换的迷雾仍然浓重，但这些新技术在穿透迷雾方面略胜一筹。
本研究作者之一的金之涵，他2020年本科毕业于上海交通大学致远学院ACM班（ACM Honors Class，计算机科学与技术工学学士，导师俞勇），2022年在苏黎世联邦理工学院取得计算机硕士学位，目前是苏黎世联邦理工学院数学系的博士最后一年学生，师从Benny Sudakov。他的研究兴趣广泛，涵盖离散数学，包括Ramsey理论、组合学中的代数与概率方法、极值集合论及其在理论计算机科学中的应用。
本研究作者之一的张盛桐，他应该说是年少成名。他出生于2000年，是一名竞赛生。他从小便参加各种数学竞赛，并取得了出色的成绩，他在高一时便获得了国际数学奥林匹克（IMO）金牌（上海中学，年仅16岁）。在获得国内顶尖高校的保送资格后，他选择到美国麻省理工学院读本科，主修数学与计算机，辅修经济学。自大一起，张盛桐连续参加了五次阿里巴巴全球数学竞赛，取得了一金四银的好成绩；而参加北美本科生难度最大的普特南竞赛，他也连续三次获得个人最高荣誉（Putnam Fellow）。2022年从MIT本科毕业后，张盛桐目前在斯坦福大学读博，师从Jacob Fox。
张盛桐研究兴趣主要为组合数学，聚焦离散几何、极值图论、解析数论与理论计算机科学的交叉领域等。他目前最让人称道的成果便是，他在MIT读本科时与赵宇飞等人合作，共同解决了困扰数学界的70多年的“高维空间中的等角线最大值”难题，相关成果于2021年发表在数学四大顶刊之一的《数学年刊（Annals of Mathematics）》上。根据文章的时间线，该文是2019年9月投稿的，这意味着文章刚做出时，张盛桐还在读大一（正式发表时刚上大四）。这篇文章还让他获得了世界华人数学家联盟2023年会(ICCM 2023)的鲍剑文最佳论文奖。
参考链接：https://www.quantamagazine.org/networks-hold-the-key-to-a-decades-old-problem-about-waves-20260128/
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