围绕高指标理论, 本文综述它的一些最新进展, 包括Roe代数与拟局部代数的结构与K-群计算, 以及膨胀图与渐近膨胀图在其中的应用.
高指标理论研究非紧Riemann流形上的指标理论. 著名的Atiyah-Singer指标定理断言, 紧流形上椭圆拟微分算子的Fredholm指标(即解析指标)可由流形上的拓扑不变量来计算. 对于非紧流形, 其上椭圆拟微分算子一般不再是Fredholm的. 人们发现可以将这类算子的解析指标定义在某些C∗-代数(称为指标代数)的K-群中, 称之为高指标.
对于一般非紧完备Riemann流形, J. Roe将其上椭圆微分算子(如Dirac算子)的高指标定义成Roe代数K-群中的一个元素. 这种高指标不依赖流形的局部几何性质, 而只依赖于流形的粗几何. 粗几何关心非紧流形“在无穷远的结构”或“在无穷远的渐近行为”, 是研究高指标理论的核心工具之一.
高指标理论中的关键问题是计算指标代数的K-群, 但这往往很困难. 为此, 人们提出粗Baum-Connes猜想, 它断言Roe代数的K-群和空间上一类相对容易计算的拓扑不变量(粗K-同调群)同构. 粗Baum-Connes猜想蕴含Novikov猜想, 而且在研究Gromov-Lawson-Rosenberg正标量曲率猜想中有重要应用, 是粗几何与高指标理论中的核心猜想.
在《中国科学：数学》的这篇综述中，我们首先梳理了高指标理论的起源与发展脉络，并介绍了两类指标代数--Roe代数和拟局部代数. 进一步, 围绕粗Baum-Connes猜想, 我们详细介绍了目前已知的一类反例--膨胀图与渐近膨胀图, 并分析了这些反例存在的关键原因--Roe代数中存在鬼投影算子. 最后, 我们介绍了与之相关的一些公开问题，并对研究未来进行展望.
作者简介
章嘉雯，复旦大学数学科学学院副教授，博导，2015年博士毕业于复旦大学。主要研究方向是高指标理论、粗几何和几何群论，在 Adv. Math.，CMP，IMRN，Trans. AMS.，JFA等权威期刊发表论文二十多篇。获得2024年国家自然科学基金优秀青年科学基金、上海市领军人才（海外）称号，参与国家重点研发计划青年科学家项目。