今天我们说等价代换
01
截长补短
在初中几何里，有一类辅助线作法——截长补短——通常用来解决线段的【和、差、倍】问题。
比如下面这2个类型都叫截长——在较长的边上截一段。
第一种是遇到角平分线后的截长，第二种是遇到高后的截长。
截长是为了利用这些线提供的特殊几何关系，构造全等三角形。
有了全等三角形，就可以将边、角进行等价代换。
第一种是用AE代换了AB，用∠AED代换了∠B.
第二种是用EC代换了AB，用∠AED代换了∠B.
知道了截长，你应该也知道补短是怎么回事了——延长某一线段。
比如，下面这个题目。
延长之后，把原来短的线段变长了——补短。
这样再利用已知的几何关系构造全等三角形，实现边角等价代换。
在这里，CF代换了BD，EF等价了CE。
再看下图，也是用补短的方式构造全等三角形。
最终用BG代换了DE，∠BAG代换了∠DAE。
跟上图一样的，还有下图这种。
它们都利用了角度，来证明全等。
上图更容易识别一些，它是很多学生比较熟悉的【半角模型】。
它算是半角模型里比较标准的图形。
不标准的，根本不是特殊角，还会融合在大题中，让学生不好辩识、不好识记。
说到识记，这么多截长补短的模型，怎么可能记得住？
更不要说：有时候一道题用截长也行，补短也行了。
——很容易弄混。
更有甚者，这种模型根本不会出现在小题中，多是融合在大题中。
到时候多条线段，多个图形弄在一起，云里雾里的就很难分辨。
观察以上类型，无论截长还是补短，都是为了构造全等三角形。
为什么要构造全等三角形？
全等三角形代表了等量关系，构造它们是为了给线段、角做等价代换，从而得到答案。
对，你就记住【等价代换】——等价代换是数学思维，更根本。
更本质的东西，天生能够衍生出其他东西——也就是说，它们适用的范围更广。
拿等价代换来说，它不止能解决“截长补短”能解决的问题，还能解决“截长补短”不能解决的问题。
比如：
圆里面的弧度、弦长、角度，这些是可以根据所求来回变换的；
相似三角形中的比例，平行中的比例，只要比例相同，边是可以换的；
代数式里的各个量，也可以等价代换，从而实现我们想要的推理结果……
等价代换提供这样一种思考方式——表面上一条路走不通，可以通过其他路来进行中间转换，从而实现目的。
所以：
当你看到一些线段长度问题，就比如截长补短能解决的和、差、倍、分（某线段是某线段的½，其实也是倍数关系）——表面来看走不通，你就想：
我观察一下图片，看能不能找到等价线段来解决这个问题。
等价就要找到【相等】的数量关系；
于是，你通过截长补短构造全等三角。
当你看到最小值问题，你知道三点一线最短，那你如何通过转换、等价，把一条线段跟另一条线段连在一起？搜索一下自己的等价工具——这样就来到了对称，用对称来等价。
对称是思维，将军饮马是技巧：要抓思维，而不是沉迷于技巧
在算三角函数值时，所求角比较难算，那我们可不可以做一下等价代换？一代换就有了——很多三角函数的公式、一些常用的角度转换公式，就是在这个思想下诞生的。
还有，一个很经典的解题思路是：在看到一些“奇形怪状”的题目时，就想一想这些“奇形怪状”它等价于什么。
一琢磨你就会发现，其实它等价于你非常熟悉的内容。
你把这些熟悉的问题解决了，就等于把复杂的问题解决了。
比如下面这道题。
函数f（x）的表达式就够麻烦了，还弄个f（a- 1），难道我要把这些值都带入函数表达式吗？
当然不是。
如果你仔细观察会发现：
a-1和2a^，不论它们的表达式是什么，它就是函数的两个自变量；
而f（a-1）和f(2a^）就是两个函数值；
做一下变换，不就是我们熟悉的函数单调性的定义吗？
这样看似复杂的取值问题，就等价于函数单调性的问题了。
除了上面这些直接的应用，你还可以把一些问题等价为其他问题。
比如直接证明A问题太难，但A问题的等价问题是B问题，那么你可以通过证明B问题，来达到目的。
比如下面这道题。
这是一道中考压轴题。
第一问很好说，有意思的是第二问。
P为动点，动点到直线的最大距离是多少？
一个点到直线的距离，在高中我们是学过的。
直接套用公式。
然而，初中生没有学过这个公式。
无法直接解决的问题，转化成等价的其他问题，通过解决其他问题来间接解决你的问题。
像这一题，我们可以放到三角形里，利用垂直关系。
我们可以做PH垂直于BC.
然后再过P点做PQ平行于Y轴。
得到一个△PH Q，其实它跟△BOC是相似的。
于是PH就跟PQ有个大小关系。
PQ是非常好算的，那么PH我们也就知道了。
这就是【等价代换思维】的体现。
在第三问里，依旧可以照着这个思路来。
把三角形是直角的问题，转化成三角形相似，利用相似比来算点的坐标。
比如，怀尔斯证明费马大定理时，就发现直接证明很麻烦。
他找了一个等价问题，进行了转化。
明明在讲数学，最后却让人泪流满面：纪录片《费马大定理》
到这里，我们总结一下：
截长补短是解决一类线段问题的“特定”辅助线做法；
模型很多，记不住不用记，因为它背后是【等价代换】四个字；
着重思考【等价代换】，它是思维，更根本，能解决更多问题——我们举了例子。
好，现在【等价代换】已经完全进入你的脑海了。
希望今后的学习中，你时常想起它，让它作为一个思考抓手，帮助你应对问题。
本文结束，谢谢阅读。