微积分诞生前的数学战争（四）：无穷符号的发明者

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2025-06-28 07:21发布于北京清华大学出版社科普频道官方账号

1631年12月的圣诞假期，一位15岁男孩，好奇地看着弟弟在纸上练习计算题，这是他第一次见识到数学，他很快从弟弟这里学到了这种商人记账用的简单算术。谁能料到，这位数学基本靠自学的他，竟然在多年后成为微积分发展进程中的关键人物。

他就是无穷符号的发明者——约翰·沃利斯（John Wallis）。

无穷符号的发明者

第二年（1632年），沃利斯就进入了剑桥大学，而此时的大学已经出现了很多新思想，包括：哥白尼的日心说、开普勒的行星轨道计算、伽利略的科学观和培根的经验主义哲学等，沃利斯求知若渴，大量吸收新知识。
毕业后，他的第一份工作是牧师，当时时局动荡，随时可能失去工作。沃利斯很幸运，九年后（1649年）意外地得到了牛津大学的萨维尔几何教授的职务。
原来在15岁那个命中注定的圣诞假期，沃利斯不但从弟弟那里发现了数学，同时也发现了自己的数学天赋。
他自学并掌握了伽利略、托里拆利、笛卡尔等人的最新数学成果，并在上任6年后，发表了两本极具原创性的数学著作《论圆锥曲线》与《无穷算术》，引起了巨大反响。
他在《论圆锥曲线》中首次提出了无穷符号：∞。
并以“无穷小量”解释了三角形的面积，三角形被一系列平行线（不可分量）构成，共有∞条。每一条平行线厚度则是一个无穷小量，为三角形高度A的1/∞，所有平行线的长度从0增长到底边长度B，所以它们的总长度为B/2×∞，因此三角形面积=1/∞×A×B/2×∞=1/2AB。
虽然他在书中用到的∞/∞并非完全严谨，但是这一提法极具开创性。
在《无穷算术》中，他更是将“无穷小”当成了数学实验，通过不完全归纳，得到了一些极具启发意义的结论。
比如，一个数列所有项之和与相同个数的最大项之和的比值是多少？
如果这个数列是自然数，那么结果似乎是1/2。
如果这个数列是自然数的平方，那么结果似乎是1/3。
而如果这个数列是自然数的三次方，结果似乎是1/4。
进而他推断如果这个数列是自然数的n次方，那么结果将是1/（n+1）。
这是一次大胆的数学实验，虽然其严谨性遭到了费马等数学家的质疑，但这一猜测的可信度很高，这也反映出“无穷小”的巨大潜力。
事实上，他当时发现的就是后来的一些重要极限，而其本质则是牛顿的二项式定理。
沃利斯归纳式的无穷小数学，与霍布斯演绎式的欧几里得数学，形成了强烈对比，两人也成为学术上的竞争对手。霍布斯只承认单一的真理，而沃利斯却能允许各种不同的观点并存。
在英国处于无政府主义时期，沃利斯与波义尔等12位科学家一起创建了“无形学院”，时常聚会，讨论新的哲学与科学观点，这个“无形学院”后来发展成为伦敦皇家学会，牛顿、巴贝奇、达尔文、麦克斯韦、爱因斯坦、狄拉克、霍金等人都是该学会成员。
霍布斯为了完善他关于《利维坦》的哲学基础，一度挑战古希腊流传下来的三大几何难题，尤其是“化圆为方”问题。关于霍布斯与《利维坦》，详见文章：微积分诞生前的数学战争（三）：横空出世的利维坦
霍布斯与他的代表作《利维坦》
古希腊三大几何难题之一的“化圆为方”问题
沃利斯一次次找出了霍布斯解答的漏洞，以此证明了利维坦的基础并非坚不可摧，人们也不用担心这样的巨人会站立起来替代所有人的选择。
霍布斯之所以会在数学问题上屡战屡败，并不是因为数学能力的不足，而是面对新生数学时的固步自封与傲慢。
所幸，霍布斯在英国的影响力无法与罗马教廷在意大利相提并论，英国作为新教普及的国家，对新兴事物的接受度较高。
沃利斯从小没有受过系统的数学教育，反而没有被传统数学的框架所束缚。他发现“无穷小”是一个非常有价值的数学概念，并投入了大量时间进行研究，他发明的无穷符号∞，以及著作《无穷算术》，为微积分的到来做好最后的准备。
1665年，他的这本著作终于等到了最重要的读者——剑桥大学的年轻本科生艾萨克·牛顿（Isaac Newton）。
年仅23岁的牛顿，在沃利斯《无穷算术》的启发下，发展出了自己的无穷小数学——流数术（也就是微积分）。
牛顿与莱布尼茨各自独立发明了微积分，为数学开创了一个全新的分支，这也成为科学发展最重要的支柱，并在接下来的几个世纪里，彻底改变了世界。
从耶稣会到伽利略学派，从霍布斯到沃利斯，这场持续近百年的数学战争终于落下帷幕。
能包容多种声音，环境相对自由的英国，赢得了最后的胜利。
在沃利斯与牛顿之前，英国几乎没有世界一流的数学家，然而在这场数学战争之后，英国一跃成为数学强国，并一直延续至今。
数学之争一直是国运之争。

无穷小的最终胜出，让英国这个曾经半野蛮的国家，迅速崛起，取代了意大利，站在了欧洲历史舞台的最前端。

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