微积分诞生前的数学战争（三）：横空出世的利维坦

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2025-05-28 07:21发布于北京清华大学出版社科普频道官方账号

17世纪的英国，出现了一部政治哲学巨著，从它对后世的影响，就可以看出它的分量。卢梭的《社会契约论》，约翰·洛克的《政府论》，以及亚当·斯密、大卫·休谟、康德、牛顿、托尔斯泰、汉密尔顿和杰弗逊等人都受其影响，这部著作就是横空出世的《利维坦》，但鲜为人知的是，它竟然险些阻碍了微积分的诞生。
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横空出世的利维坦
1649年4月1日清晨，在伦敦西南的圣·乔治山附近出现了一群衣衫褴褛的贫民，他们放下行李，用仅有的农具，开始挖掘土地，似乎将这里当作了自己的新家园进行开垦。当时，这些土地都是贵族所有，这种对个人所有权的公然否定，让人不寒而栗。这是掘土派运动，而这类颠覆社会秩序的事情，在当时的英国层出不穷。
1640年，随着新教思想的传入，传统天主教等级秩序的思想出现了裂痕，国王与国会之间的矛盾最终引发了内战。在接下来的二十年里（1640年到1660年），国王查理一世被斩首（1649年），各方势力轮流登场，整个英国处于无政府主义状态，而掘土派运动只是其中的一个缩影，这让英国人尤其是有产者惊恐万分。
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乱世之中，有一个人脱颖而出，他给出了一个走出困局的办法，就是建立一个强大得不容挑战的中央权威，以此来避免内战。他就是史上最具影响力的政治哲学家之一——托马斯·霍布斯（Thomas Hobbes），这个观点就出自他的成名作《利维坦》。
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霍布斯（图左）与他的成名作《利维坦》（图右）
霍布斯并非贵族，在卡文迪许家族的资助下，他能衣食无忧地进行学术研究。然而英国内战的到来，让他不得不随卡文迪许家族一起逃亡到法国，没有安全感的生存环境，令他感到前所未有的恐惧。
他迫不及待地推出巨著《利维坦》，不惜一切代价来阻止这种无政府主义。
他认为造成英国动荡的不是政治和宗教，而是人的本性。
霍布斯的逻辑就是：在没有安全保障的社会里，人的本性会导致人们产生恐惧；进而会对周围的人发起攻击，以确保能控制对方；但这种攻击只会造成更大的恐惧，因此攻击不会停止，只会升级；最终将变成“所有人对所有人的战争”，内战也因此而来，而这时的社会将回到自然状态。而在这种状态下，一切长期的投资、产业、文化、科技都无从发展。
霍布斯认为要打破这种局面，必须要形成一种社会契约，每个人都要放弃自己的自由意志，将自然权力让渡给一个强大的权威，而这个权威将体现所有人的意志。当威胁出现时，它将以强大的力量来避免内战，这就是人们最终的选择：利维坦。
利维坦原指一种巨人，这里指一个无比强大的权威，或者叫主权者（Sovereign）。
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《利维坦》的核心思想就是：人的本性会导致社会进入自然状态，唯一的出路就是放弃个人意志，让利维坦出现，以维持政治秩序。
霍布斯的这套关于人性论、社会契约论与国家理论的思想影响深远。
他对自己的哲学观点无比坚信，因为他的哲学体系，是参照欧几里得几何来构建的，逻辑严谨，层层递进，无懈可击。
他原本打算推出三部曲，从《论物体》开始，先分析物质的基本属性；然后推出《论人》，剖析人性；最后再得出解决混乱的唯一方案《利维坦》。因事出紧急，他不得不提前将最后的结论先抛出来。
然而，当霍布斯构建完他的哲学体系后，却发现了一个隐患，那就是欧几里得几何本身还存在一些问题找不到答案，比如古希腊三大几何难题。如果欧几里得几何也存在无法解决的问题，那么他所依赖的逻辑结构就并不完美与绝对。
于是，霍布斯开始找寻三大几何难题的答案，殊不知一入坑就耗尽了他一生。
他投入最多的就是“化圆为方”问题，该问题是指：用尺规画出一正方形,使其面积等于一已知圆。
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殊不知这一问题，在200年后（1882年，林德曼）被证明无解，而其根本原因，竟然是被欧几里得几何所不允许的无穷小。
如果已知一个半径为r的圆，那么它的面积就是πr²，与它面积相等的正方形的边长就应该是√π·r，
因为π是一个超越数，而非代数数。换言之，π不是任何一个有理数多项式方程的解，无法通过有限步代数运算得到，因此无法用尺规作出。
关于π，数学家找到了很多无穷级数或者无穷连分数的表示法，但是没有有限次运算的代数表达式。
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霍布斯不知道关于无穷的知识，他在这一数学问题上耗费了一生，同时也失去了数学家的名声。现在人们只知道他是著名的哲学家，却鲜有人知道他曾经是一位数学家，而且还是国王查理二世的数学老师。
霍布斯坚信利维坦是建立在绝对可靠的逻辑基础之上的，因此绝不能接受概念模糊、存在矛盾的无穷小，作为数学的基础。
但讽刺的是，他在几何上遭遇的困局，正是源于被他反对与攻击的数学对象——无穷小。这恰恰说明了欧几里得几何并不是无所不能的，无法代表数学的全部。这也意味着，利维坦这条路并非如他所想的那么绝对。
人类因为存在个体的微小差异，才构成了丰富而精彩的社会，因此不可能由一个绝对权威来替代所有人的选择。
正是英国相对自由的环境，最终没有让巨人利维坦站立起来，这也给无穷小这样的新生数学，留下了一丝生存空间。

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