自从中学时代起，老师们就强调数形结合的重要性。数形结合的思想一直贯穿数学发展的历史，并且在现代数学的低维拓扑理论中再度大放异彩！
在过去数十年间，维流形的拓扑一直是数学研究的主流方向。瑟斯顿提出了一系列关于-流形的猜想，指引了这个领域的发展。其中最为基本的是几何化猜想：我们用球面和拓扑环面切割-流形，得到无法进一步分解的素流形（prime -manifold），与曲面单值化定理类似，所有的素-流形可以配备种标准几何。几何化猜想的最终证明所依赖的思想和工具来自丘成桐先生创立的几何分析学派，即用微分方程的手法来解决几何问题。Hamilton发明了里奇流方法，Perelman用里奇流证明了几何化猜想。瑟斯顿所有猜想中最后被证明的两个分别是虚拟哈肯（virtual Haken）猜想和虚拟纤维化（virtual fiberation）猜想，这里虚拟的意思是有限重覆盖。这两个猜想的最终证明都是基于几何群论的方法，而几何群论则完美地体现了数形结合的思想。
虚拟哈肯猜想
瑟斯顿提出的虚拟哈肯猜想如下：如果是一个闭的双曲3-流形，那么存在的一个有限重覆盖，包含一张嵌入的不可压缩曲面，，这里是曲面的亏格，。这里涉及到几个拓扑概念，直观解释如下。如果空间覆盖，其投影映射为，覆盖重数为，那么对于任意点，其原像集合为，并且存在邻域, 其原像为，投影映射的限制是拓扑同胚。映射是浸入（immersion），如果对一切，存在邻域，限制映射是拓扑同胚，但是整体上像集可能出现自相交。如果整体上是单射，那么浸入成为嵌入（embedding）。浸入的像不可压缩（imcompressible），是说如果曲面上有一条环路，如果在上无法通伦变换缩成一个点，那么在上也无法通伦变换缩成一个点。（如果用代数拓扑的语言来说，就是基本群间的同态是单射）。我们学校的Kahn和Markovic很早就证明了双曲-流形内部有很多浸入的不可压缩曲面，可以任意接近全测地子流形。因此问题归结为如何找到-流形的有限重覆盖，使得浸入的曲面提升为嵌入的曲面。
图1. 直观解释虚拟哈肯猜想中浸入到嵌入的提升。
图1直观描述了浸入到嵌入的提升。红色的圆周通过浸入到双曲曲面内，有自相交点，构成红色的8字形。我们将曲面沿着绿色和棕色环路切开，复制两个拷贝，然后将绿色和棕色边界交叉粘和，得到曲面的双重覆盖曲面，投影映射为。浸入被提升为嵌入，。这里，中红色和蓝色环路都是中的红色8字形的提升，都是嵌入。如果将红色的环路换成高亏格曲面，双曲曲面换成双曲-流形，那么图1描述的就是虚拟哈肯猜想。
浸入到嵌入的提升可以由代数语言来描述，因此虚拟哈肯猜想可以通过代数方法来解释。
从形到数，代数拓扑
经典的代数拓扑是将“形”转换成“数”，用代数来理解拓扑。给定拓扑空间，我们为其定义多种代数群或者环，例如同调群、通伦群，通过分析这些群的代数结构、代数性质，我们可以探测的拓扑信息。
最为常见的是基本群（fundamental group），这里是固定的基点。连续映射被称为是路径。如果的起点和终点重合，，那么被称为是环路。如果通过同伦形变能够变换成，那么和同伦等价。两个环路的乘积定义成首尾衔接。如此，所有环路的同伦类构成了的基本群。对于双曲3-流形而言，其拓扑信息都反映在基本群中，Mostow刚性定理断言，两个双曲3-流形同伦等价（基本群同构），则它们等距。
一般的有限生成群可以用所谓的“词群”来描述。群的生成元是一些字母，字母和字母逆的有限序列组成一个词，词的首尾衔接构成乘法，空词是单位元。同时有一些词, 被称为是关系。两个词,被称为等价，如果通过有限步插入或者删除关系词变换成。所有词的等价类构成的群被称为是词群，记为
如果没有关系词，则被称为是自由群（free group）。
很多拓扑概念，都可以翻译成相应的代数概念。假如是基本群的子群，那么覆盖空间，满足(直至同构);反之，给定连通的覆盖空间，，，那么是的一个子群。如果是正规子群，，即对于一切元素，,那么对应的覆盖是伽罗华覆盖。覆盖空间的自同胚变换满足被称为是甲板变换(Deck Transformation), 所有的甲板变换构成甲板变换群。伽罗华覆盖的甲板变换群等于商群。由生成陪集（coset）的个数被称为是的指标（index），记为。如果的指标有限，则其对应的覆盖是有限重覆盖，反之则为无限重覆盖。
从浸入到嵌入的提升可以用子群的可分性概念来描述。子群是可分的（separable），如果对于一切，存在有限指标的子群，包含 但是不包含, 即但是。Peter Scott证明如果曲面的子群在中可分，那么虚拟哈肯。
图2. 子群可分性与虚拟哈肯的直观解释。
图2直观解释了为什么子群可分性等价于虚拟哈肯性。浸入将低维流形映入到高维流形中，像有自相交点。过自相交点存在一条绿色环路，不是环路，因此
假设对应子群的覆盖空间是，那么, 元素不在内，因此环路提升到内成为非封闭的路径。但是指标为无穷，因此无穷重覆盖。如果可分，则存在有限指标的子群包含，不包含。是对应的有限重覆盖空间，绿色的提升到中成为路径。由的任意性，在中的像不再自相交，嵌入在中。
可以证明Kahn和Markovic找到的曲面对应的子群是拟凸的（quasi-convex），因此，虚拟哈肯猜想的证明归结为如何证明双曲-流形基本群的拟凸子群是可分的。由此，我们将拓扑问题（形）转化为代数问题（数）。
从数到形，几何群论
双曲-流形的所有拓扑信息都隐藏在基本群中，但是通过纯代数方法来发掘基本群的内在结构依然是极其困难的。几何群论的思想是为抽象群找到一个拓扑空间（复形 complex），使得的基本群等于，通过用组合的方法来分析，从而得到的代数性质。本来我们希望理解双曲-流形的拓扑信息，我们将其转换为抽象群的代数信息，然后又构造了复形，通过的拓扑（组合）信息来理解的代数信息，那么，我们是否又回到了原始出发点，一切都徒劳无功呢？这正是问题的关键所在：复形只和通伦等价（而非同胚等价），结构简单很多，也非常容易理解，从而极大地简化了问题。这样我们通过形（-流形）变成了数(基本群)又通过数（抽象群 ）回到了形（复形），从而达到了否定之否定，螺旋上升。
图3. 有限生成自由群对应的复形。
原始的想法起源于1982年Stalling关于自由群的研究，他发明的Stalling折叠已经成为几何群论中的经典算法。我们考察最为简单的二元自由群，即所有由两个字母生成的有限长度词构成的群。我们构造一个图(Graph)来表达，双叶玫瑰，它只有一个顶点为基点，每个字母（生成元）对应一个花瓣，即起止于基点的定向环路，和，如图3右帧所示。任意一个词都代表玫瑰中的一条环路，反之依然。例如词对应着环路如下：我们从基点出发，绕着正向走两圈，再沿着逆向走一圈，回到原点。给定子群, 我们来构造Stalling图如下：有一个红色的基点，每个生成词对应一个花瓣，每个花瓣是一条环路，由定向弧首尾衔接而成，每条定向弧有一个字符，对应着的生成元或者。例如花瓣环路由3段定向弧组成，附带的字符为，并且a弧的定向与环路的定向相反。定向弧之间，添加黑色顶点。我们再构造映射，红色基点映到红色基点，黑色顶点也映射到红色基点，每段带字符的定向弧，映射到带有同样字符的花瓣。那么就是到的包含同态。但是，是单射而并不是单射，例如从红色基点出发，有条定向弧都带有标记，它们都映射到的花瓣。
如图4所示，图可以通过Stalling折叠方法进行化简，使得简化后的图到的映射成为单射。我们可以从简化的Stalling图上用图论的方法得到关于群的很多信息。例如，我们来计算的秩(rank)，即最少生成元的个数。构造的生成树，，包含唯一的环路，那么这些环路构成的基底，即的生成元。我们看到的生成元为，的秩为。我们说是全拓扑度，如果对于每个顶点，的每个生成元，都有一条进入的定向弧和一条离开的定向弧对应着。如果是全拓扑度的，那么是的覆盖空间，覆盖重数等于的顶点个数，即。如果不是全拓扑度的，那么具有无穷指标。
图5显示了另外一个例子。右侧显示了自由群的Stalling图，中间是某个子群的Stalling图，右侧箭头代表单射，对应着包含同态。并非是全拓扑度的，因此并不是的覆盖空间。通过所谓的典范完备化操作，我们可以为添加一些边，使之成为全拓扑度，得到一个有限指标的覆盖空间，。对于的每个花瓣，我们计算的原像，考察每个连通分支，如果连通分支是一条环路，什么都不做；如果连通分支是一条弧，则添加一条从终点指向起点的定向弧，带有标记；如果连通分支是一个顶点，则添加一条环路，，带有标记。图4左帧显示了典范完备化的结果，红色的边为添加的边。那么是的有限重覆盖。
由此，我们得到了著名的Marshall Hall定理：自由群的有限生成子群是可分的。更为具体的，令,是自由群的元素，是的子群，其生成元为，假设。那么存在有限指标子群，使得, ，, 并且基底的子集构成的基底。我们构造的Stalling图，用Stalling折叠进行简化。我们在添加路径代表，，然后用正则完备化将其转换成，那么是有限重的覆盖空间，包含，，但是不包含。另外，的生成树也是的生成树，的生成元也是的生成元。
综上所述，几何群论的方法就是为抽象群及其子群构造拓扑空间和，然后用Stalling折叠方法简化，再用典范完备化得到有限重覆盖空间。本质上是用组合方法来证明代数性质，例如子群的可分性。
虚拟哈肯猜想证明的思路
图6. 立方复形与超平面（左侧）；Salveti 复形（右侧）。
虚拟哈肯猜想的证明也是依循这一途径。Wise给出了证明的纲领，经过很多数学家数十年的艰苦努力，最终由Agol完成证明。在这个框架下，Stalling图都被推广成所谓的立方复形（cube complex）。如图6所示，所谓立方复形就是有限个不同维度的立方（）粘贴而成的复形。可以看成是在图（graph）上粘贴一些正方形，立方体等等。在虚拟哈肯猜想证明的框架中，曲面由四边形网格来表示，双曲-流形由六面体网格来表示。同时这些剖分需要排除病态情形，被称为是特殊（special）立方复形。特殊立方复形可以保证它们之间的映射比较规则，即所谓的局部等距(local isometry),例如浸入被表示为立方复形间的局部等距。
如图7所示，Wise用低维复形来解释证明的思路：复形浸入到平方复形中，，中每条有向边上都有不同风格的箭头，既表示方向也表示标识符号；中的一条边映到中带有同样风格箭头的边，并且定向保持一致。我们看到将中红色的两个顶点映射到中红色的一个顶点，因此不是嵌入，而是浸入。我们希望构造的一个有限重的覆盖，使得嵌入在其中，图中左上角的四方复形就是答案。构造过程如下：标准立方体中有个子立方,将某个坐标固定成所得的截面。这些截面构成的子立方复形被称为是一个超平面（hyperplane）。首先我们计算的所有超平面（hyperplane）。这些超平面构成所谓的超平面复形，每个顶点代表一张超平面，每条边代表两张超平面相交。代表了一个直角Artin群（Right Angled Artin Group）：中的每一个顶点对应着的一个生成元，中的每一条边对应着的一个关系。构造的Salveti复形，Salveti复形的基本群等于, 。如图6右侧所示，只有一个顶点，每条环路都代表中的一个顶点，（中的一张超平面）；中的一个-完全子图(-clique,中的一个-立方）对应着中的一个-立方。我们构造从到的局部等距映射，将的所有顶点都映射到的唯一顶点；中的一条边与超平面横截相交，对应中的一条花瓣，将映射到；中的-立方中有个超平面相交于一点，设这些超平面为，中有一个-立方粘贴在花瓣之上，将映射到上。如果映射和的复合是局部等距，那么我们用Stalling折叠和典范完备化可以构造的有限重覆盖，使得嵌入在之中。
给定局部等距和，我们构造立方复形和局部等距和，使得上图可交换，如此得到范畴理论中的拉回图（pullback diagram）。由拉回图理论，我们得到是和的纤维积（fiber product）
它的基本群是两个因子基本群的交集
由构造方法，嵌入在中，；同时有限重覆盖。
在虚拟哈肯猜想的证明中，是双曲-流形，是Kahn-Markovic发现的不可压缩的浸入曲面，是双曲3-流形的有限重覆盖，将浸入曲面展开成嵌入曲面。这里，都表示成为立方复形，即四边形网格和六面体网格的推广。这些立方复形是特殊的，即排除病态情形。 在几何群论中，双曲-流形和曲面并不预先给定，需要由抽象的群来构造。这时，Sageev用的Caley-图来取代，Galey-图与粗糙等距；用拟凸子群来取代，依然可以构造通伦等价的立方复形。立方复形中的超平面相交关系保留了-流形内部浸入曲面的相交关系，RAAG群与自由群类似，其中子群的可分性保证了有限重覆盖的存在性。
小结
我们看到代数拓扑从“形”到“数”，将拓扑空间用基本群来描述，拓扑性质被翻译成代数性质；几何群论从“数”到“形”，将抽象群用立方复形来描述，将代数性质翻译成组合特性，从而可以用算法来验证。数形结合的思想，解决了瑟斯顿-流形拓扑理论中的最后猜想。数学再次经历了否定之否定，螺旋上升的历史规律。几何群论必将为工程应用带来巨大的飞跃！
【老顾谈几何】邀请国内国际著名纯粹数学家，应用数学家，理论物理学家和计算机科学家，讲授现代拓扑和几何的理论，算法和应用。