在快速发展的量子计算领域，张量网络因具有多方面的效用成为重要工具。
3月11日，来自Terra Quantum、加拿大舍布鲁克大学、摩根大通、加州理工学院、Quantinuum、英伟达（NVIDIA）、谷歌量子人工智能（Google Quantum AI）、NASA、KBR、芬兰于韦斯屈莱大学、加拿大英属哥伦比亚大学的研究人员合作，在arXiv平台上发表题为“Tensor networks for quantum computing”（用于量子计算的张量网络）的研究论文。Aleksandr Berezutskii为论文第一作者，Aleksandr Berezutskii与Yuri Alexeev为论文通讯作者。
来源：领英
本文回顾了张量网络的各种应用，并表明它们是量子计算的重要手段。具体而言，研究总结了张量网络在量子计算各个领域的应用，包括量子计算模拟、量子电路合成、量子纠错以及量子机器学习。最后，对张量网络技术面临的机遇和挑战进行了展望。
背景介绍
量子计算是当今科技领域的研究热点，致力于利用量子力学的独特性质实现超越传统计算机的强大计算能力。在量子计算的发展进程中，如何高效地表示和处理量子态以及量子过程是关键难题。
张量网络（TN）在此背景下应运而生。它最初应用于量子多体模拟领域，与其他模拟方法相比，在处理弱耦合量子系统和具有显著局域性的量子系统时具有明显优势。随着研究的不断深入，张量网络的应用范围逐渐拓展到量子信息理论和量子化学等多个领域，成为量子计算领域不可或缺的工具。
在量子计算中，“维度诅咒”（curse of dimensionality）是一个极具挑战性的问题。随着量子系统自由度的增加，其状态空间的大小会呈指数级增长，这使得传统计算方法在处理大规模量子系统时面临巨大困难。而张量网络能够通过特定的架构和算法对量子态进行压缩和表示，有效降低计算复杂度，成功应对“维度诅咒”问题。
此外，张量网络还为分析量子信息科学中频繁出现的数学对象提供了统一的框架。在量子计算里，许多关键的物理量和操作都可以用张量来描述，张量网络的出现使得这些数学对象的处理更加直观、高效，有助于研究人员更深入地理解量子计算的本质，解决量子计算发展过程中面临的诸多挑战。
张量网络方法
张量是描述多线性关系的数学对象，可看作多维复数数组。通过张量收缩操作，能组合多线性关系，矩阵乘法就是一种特殊的张量收缩。张量还能通过奇异值分解（SVD）进行分解，SVD可对原始张量进行近似表示，在固定秩的近似中，SVD提供的解是最优的。
常见的张量网络架构有MPS、PEPS和MERA。MPS是最常用的架构之一，能对N体量子波函数的张量进行近似表示，特别适用于模拟一维量子系统，收缩成本与系统大小呈多项式关系。PEPS旨在将MPS推广到更高维度，可模拟高维量子系统，但算法计算需求较高。MERA用于捕捉量子系统不同长度尺度的纠缠结构，对噪声具有内在鲁棒性。
张量网络的操作主要包括更新和收缩。更新方法有基于密度矩阵重整化群（DMRG）的优化、梯度优化和蒙特卡罗采样等。收缩是许多张量网络算法的关键部分，精确收缩成本高，实际中常采用近似收缩和一些优化技术，如递归图分区、模拟退火和强化学习等，以降低收缩成本。
表1：张量网络在量子计算中的应用概述。
量子计算模拟中的张量网络
张量网络可用于模拟基于门的量子算法。一种方法是通过时间演化块衰减（TEBD）等技术演化MPS或PEPS；另一种方法是将量子态表示为收缩的电路门张量网络，通过收缩相关张量网络计算振幅和期望值。在模拟多体物理的量子电路实验中，基于张量网络的方法（如TN信念传播、Heisenberg MPO等）能有效解决问题，甚至比量子处理器更精确。
在模拟量子退火等演化实验中，张量网络为其提供基准测试。通过比较量子模拟器和基于张量网络的经典模拟方法（如MPS和PEPS）在求解薛定谔动力学问题上的表现，可评估量子处理器的性能。例如，在研究三维横向场Ising自旋玻璃系统和biclique晶格几何时，MPS方法通过估计等效“QPU键维度”发挥了重要作用。
玻色采样是一种计算模型，基于线性光学元素、非线性输入和测量。由于其传输矩阵近似Haar随机，MPS方法适用于模拟该实验。对于无光子损失的情况，利用光子数守恒的U(1)对称性可降低MPS成本；对于有光子损失的情况，用MPO近似混合态更高效。此外，还可在海森堡绘景中模拟玻色采样。
张量网络与量子电路合成
量子电路合成旨在将目标量子操作分解为可在特定量子计算架构上执行的门操作序列。然而，现代量子处理器存在两个主要挑战：一是分解算法需遵循量子设备的本地连接性；二是量子设备的特征噪声限制了制备量子操作的电路深度。目前，这两个问题在可扩展性和精度方面都尚未得到通用解决。
张量网络为解决这些挑战提供了新途径。张量网络架构（如MPS和MPO）具有固有的几何布局，在处理电路描述时，这种布局有助于实现相邻量子比特之间的连接，从而为解决电路合成问题提供了部分解决方案。通过将量子态和操作表示为张量网络并转化为量子电路，可简化电路设计，降低复杂度，提高合成效率。
将张量网络转换为量子电路的过程包括将原始TN转换为等距张量的TN、嵌入时空方向、将等距张量提升为幺正矩阵以及将幺正矩阵分解为量子门。在实现过程中，可采用全息制备和自适应电路等技术。全息制备可按时间顺序制备物理状态的空间维度，复用量子比特；自适应电路允许在电路中进行测量，并根据测量结果确定后续门操作，能以恒定深度制备某些状态。
张量网络在量子纠错与缓错中的应用
张量网络与量子纠错码之间存在重要联系。某些量子纠错码（如卷积码、级联块码和拓扑码）可分别用MPS、树状TN和PEPS表示。这种对应关系为量子纠错码的表示和分析提供了新视角，使得研究人员可以利用张量网络的工具来构建最优解码器。
量子纠错码的解码过程与张量网络收缩形式上等价。通过处理综合征测量结果，利用给定的误差模型找到最可能的错误集合，进而确定校正操作。在实际解码中，可采用识别陪集对称性或直接构建基于误差模型连接性的张量网络等方法。虽然TN解码器精度高，但目前在实时解码方面实用性欠佳，更多用于实验基准测试和评估其他解码器。
在近期量子实验中，误差缓解至关重要。概率误差消除（PEC）是一种有前景的方法，但需要精确了解门级噪声模型。张量网络误差缓解（TEM）算法通过对随机局部测量进行后处理，结合经典噪声反转通道来消除误差，为误差缓解提供了一种通用的低成本方案，有望在含有大量量子比特的系统中发挥重要作用。
量子机器学习中的张量网络
过去十年中，张量网络在机器学习领域引起了广泛关注。它可压缩神经网络中的高维线性层，减少内存使用和训练参数数量。同时，张量网络具有很强的分析可解释性，与多种传统机器学习技术（如Boltzmann机器、Born机器等）相关。其架构灵活性还能引入归纳偏差，提高训练效率和模型泛化能力。
尽管许多张量网络的收缩复杂度与键维度呈多项式增长，但在某些情况下（如MERA），多项式次数较高，在实际机器学习中效率较低。量子计算机可通过实现反映特定TN架构的参数化量子电路（PQC）来辅助TN -基于的机器学习，形成TN-QML。这种方法避免了昂贵的收缩操作，且具有无贫瘠高原、抗退相干等优势。量子版本的MPS、TTN和MERA已在量子机器学习的判别和生成任务中得到探索。
张量网络在量子机器学习中具有很大的潜力。它可作为将经典数据编码到量子电路的工具，还可在经典计算机上对TN-PQC进行预训练，然后扩展到无法经典模拟的量子算法。此外，TN替代建模可用于测试量子机器学习模型的去量子化，为量子机器学习的发展提供了新的思路和方法。
图1：（a）向量、（b）四阶张量、（c）矩阵乘法、（d）公式（2）、（e）张量的奇异值分解以及（f）等距的定义的图形表示。
图2：不同类型的张量网络：(a) 矩阵乘积态；(b) 具有周期性边界条件的多尺度纠缠重整化近似。橙色圆圈代表等距张量，品红色圆圈代表幺正解缠算符。(c) 和 (d) 分别是二维和三维的投影纠缠对态。
图3：图中的箭头表示张量的等距条件，这是按照图1中的约定定义的，并不表示线路时间。
讨论与展望
张量网络在量子计算领域具有多方面的重要价值。在计算复杂度分析方面，若能找到针对某问题的多项式时间张量网络算法，可证明该问题属于复杂度类P；反之，通过尝试现有先进的张量网络技术并观察到指数级缩放，能推断问题的难度。在验证量子优势方面，张量网络可帮助判断有限尺寸量子实验是否超越经典计算机的计算能力。
在量子算法分析中，张量网络可模拟量子算法并推断性能缩放；在量子电路合成中，可高效制备特定状态或算子；在量子纠错中，有助于构建特定的码和最优解码器；在量子误差缓解中，能降低计算开销；在量子机器学习中，可设计更高效的量子模型。
随着量子硬件向容错量子设备发展，张量网络将继续发挥重要作用，尤其在量子-经典混合设备中。未来，张量网络有望发展出更多新的算法和技术，以满足容错量子计算机的需求。随着量子硬件性能的提升，张量网络与量子计算的协同作用将进一步加深，成为推动未来量子计算系统发展的重要工具。
主要研究人员
Yuri Alexeev，英伟达高级量子算法工程师，电气与电子工程师协会（IEEE）高级会员。研究领域包括量子计算算法开发、纠错/误差缓解技术，以及利用下一代高性能超级计算机上的高性能计算来构建量子系统的数值模拟器。Yuri Alexeev博士在爱荷华州立大学获得物理化学博士学位。毕业后，他成为太平洋西北国家实验室（PNNL）的博士后研究员，并在NWChem研究小组工作。后来，他加入了诺贝尔奖获得者Martin Karplus博士在哈佛大学和斯特拉斯堡大学的研究团队。他曾在阿贡国家实验室的领导计算设施担任了13年的计算科学家，发表了100多篇论文 。