数学史上有这么一道题，居然用不同的思路去解，会得到不同的答案，而且几个答案都很有道理。
这是1889年，由法国数学家约瑟夫·伯特兰（Joseph Louis François Bertrand）在著作《概率的计算》（Calcul des probabilités）中提出的有关概率的问题，被称为“伯特兰悖论”（Bertrand Paradox），又称“贝特朗悖论”。
这究竟是怎么一回事？
题目是这样的：有一个内接于圆的正三角形，如果在圆上随机画一条弦，那么这条弦比正三角形的边长更长的概率是多少？
第一种思路：
固定弦的一个端点，那么另一端点可以在圆周上任意选择，不妨将固定点选在正三角形一个顶点上，那么另一端点只有落在三角形另两个顶点之间的劣弧上，才能保证弦长满足要求，所以这种方法得到的概率是1/3。
第二种思路：
选择圆的一条直径，然后过该直径上任意一点作垂线，与圆相交形成弦。只要保证弦的中点落在直径的中间部分，就能满足弦长要求，所以这种方法得到的概率是1/2。
第三种思路：
在正三角形内再作一个内切圆，这个圆的半径正好是原来大圆的一半，然后在大圆内任意作弦，只要保证弦的中点落在小圆内，弦长就能满足要求。因为弦中点可以遍布整个圆，所以此时的概率就是小圆与大圆面积之比，等于1/4。
我们知道一道数学题，无论用什么方法求解，应该只有唯一的正确答案。但现在用了三种方法却得到三个不同的结果，而且每一个都很有道理。这岂不违背了数学的一致性？
原来问题就出在题目中“随机”二字的定义，所谓的“随机”应该是空间中等几率地均匀分布。然而题目中并没有明确是针对哪个空间，或者叫哪个样本空间。
方法一的样本空间是圆周上的对点，方法二的样本空间是直径上的点，方法三的样本空间是大圆内的点。
所以当选择其中一个空间均匀分布时，在另外两个空间上并非均匀分布。
三种方法下，我们来看弦中点的分布：只有第三种方法，看上去比较均匀，前两种有明显的疏密。
伯特兰悖论的本质是：概率空间定义不明确。
这个问题让数学家意识到，早期概率论中，存在由直觉造成定义模糊的问题，特别对“随机”或“均匀分布”等词，容易产生歧义。
这也催生了概率论公理化体系的建立。1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫（Andrey Nikolaevich Kolmogorov），利用测度论，将概率论公理化（在《概率论的基本概念》中提出）。概率论建立在了严格的数学基础上，这也奠定了现代概率论的基石。
从此，概率问题要求明确三个要素：样本空间（所有可能结果）、事件域（可分配概率的事件集合）和概率测度（如何分配概率）。
只有明确这些，问题才有唯一解。
因此，伯特兰问题中的不同答案，实际上对应不同的概率空间定义，所以它成了一个“模型选择问题”。
这一神奇的悖论，能让我们直观感受到，概率论从直觉到数学的跃迁。
值得一提的是：伯特兰曾辅导过不擅长数学考试的埃尔米特，助其通过学位考试，埃尔米特后来成为数学全才庞加莱的导师，同时也成为了伯特兰的妹夫。
从左往右分别为：伯特兰、埃尔米特、庞加莱
《从掷骰子到人工智能：趣谈概率》| 清华大学出版社
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