在这篇来自《环球科学》2025年1月新刊的文章中，我们将跟随杰克·默塔的讲述，看看数学家如何利用概率和博弈论，多赢多赚钱。
在迷离的灯光和免费的鸡尾酒的光环下，矗立在数学基石之上的赌场只有一个目的——慢慢榨取赌客的钱财。多年来，数学爱好者一直试图用概率和博弈论破解这个被操控的系统中的漏洞，从而扭转局势，从赌场中赚到钱。
与赌场有关的一则趣闻发生在1986年，当时美国物理学会在美国拉斯维加斯举行会议。当地一家报纸的头条是“物理学家来啦！赌场遭遇历史最低收益”。但事实却是——物理学家知道，对任何赌场游戏来说，最佳的策略就是不玩。
在赌场“自己就是裁判”的前提下，我们很难乐观地相信自己能在游戏中击败赌场。然而，的确存在一个基于概率学的简单投注系统，可以让玩家在长期内赚钱——只是有一个“小小的前提”。
我们假设有一个赔率是一比一的轮盘赌桌，你可以押注红色或者黑色，你有50%的概率猜对，如果猜对了，你的钱会翻倍，猜错则会输掉这些钱。（此处为了简化，我们将游戏的赔率设为一比一，但真实的轮盘赌桌上有一些额外的绿色区域，如果球停在这些区域，你会输，从而让赌场稍有优势。）我们还假设赌桌没有最大下注限制。
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那么按照以下策略：每次下注一块钱，如果输了，就加倍下注（1元、2元、4元、8元、16元，依此类推）继续玩，直到你赢为止。例如，如果你第一次下注1元和第二次下注2元都输了，但第三次下注4元赢了，那意味着你一共输了3元，但最后一把赢回来了——并且还额外赚了1元。如果你在第四次下注时第一次赢，那么你一共输了7元（1元+2元+4元），但通过赢得8元，你最终仍然会盈利1元。维持这个模式，每次赢的时候都会确保你获得1元的利润。如果1元看起来太少，你可以多玩几次或设定更高的初始赌注来放大它。比如你从1000元开始，翻倍到2000元，依此类推，那么最后你一定会赢得1000元。
你可能会反对，这个策略不一定能盈利，因为它只有在你最终猜对正确颜色时才成立。但实际上，随着回合数的增长，你获胜的概率一定会趋于100%，也就是说你每轮都输掉的可能性最终为0。即使在赌场占优，也就是你获胜的概率小于50%的情况下，这个策略依然成立。如果你在每一个回合获胜的概率大于0，那随着轮数的累积，最终你一定会获利——因为球不可能永远都不落在你押注的颜色上。
那我们是否该把我们的全部存款取出来去豪赌一场呢？很不幸，并非如此。这种策略名为“鞅策略”（martingale betting system，也称“马丁格尔投注策略”），它起源于18世纪的法国，而且当时不少人真的认为这种简单的策略能让他们赚到钱，甚至现在依然有赌徒相信这种策略的“承诺”，但鞅策略实际上是有缺陷的。意大利冒险家、作家雅克·卡萨诺瓦·德塞恩加尔特（Jacques Casanova de Seingalt）曾在回忆录里写道：“我仍然使用鞅策略，但运气实在太差了，很快我就输的底都不剩了……”（不过好消息是，虽然赌徒们破产了，但基于他们的实践，20世纪的数学家提出了现代概率论的重要概念之一——“鞅”。）
那么，上述推理过程有何缺陷呢？我们假设你口袋里有7元，你想把它变成8元。你可以承受连续三次下注1元、2元和4元的失败。但实际上，连续三次失败的可能性只有1/8，这个概率并不大。也就是说，在八分之一的情况下，你会输光全部7元，而剩下的7/8的情况下，你会赚1元。这两种结果之间会相互抵消：1/8×（-7）元+7/8×1元=0元。
这种效应会随着初始赌注的增加而放大：有很大的概率赚取一小笔钱，也有小概率会失去所有的钱。因此，许多赌徒会借助鞅策略赚取小额利润，但少数赌徒会全部输光。在这种相互平衡的力量下，如果有很多玩家使用这个策略，产生的多数小额盈利和少数大额亏损，平均值最终将趋于0。
而实际上，上述论断并不会止于7元钱。正如前文所说，鞅策略的本质是不断下注直到获胜。如果连续三次失败，你就应该去ATM机，取8块钱再次下注。也就是说，这种“保证获利”依赖于一个前提——你愿意且能够不断加注，并且“坚持不懈”地赌博，你才能在最终必然获胜。
显然，这个策略最根本的问题是：你无法持续加注，因为你的钱是有限的。每一轮下注的金额呈指数增长，为了弥补亏损，很快就需要押上所有的钱。这显然不是一个赚钱的好方法——为了一点微薄的利润去承担一个概率很小、但大于零的风险，一旦发生你就要直接破产。纵使你的钱包无限大，但人的时间却是有限的，所以也有可能你根本活不到最终获胜的那天。现实的制约再一次干扰了我们的理想假设。
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回看这个论证，很明显你无法在赌场游戏中强行获得优势。但令人感叹的是，我们不得不依赖现实中偿付能力或者生命长度的有限性来排除这一可能。在数学家生活的“纸笔世界”中，我们可以自由穿行在各种无穷大之间，但如果我们“不恰当地使用”这种无穷大，将会导致某些本不应该存在的情况发生。
让我们看一些更为现实的情况。首先对于胜率为50%或更低的赌场游戏，现实中不存在任何投注策略能在有限的世界中确保优势。但是如果概率对你有利呢？假设你钱包里有25元，并且可以重复下注一枚你知道正面朝上的概率为60%的有偏硬币（赔率仍是一比一），你能把25元变成多少钱（奖金上限为250元）？在一次实验中，研究人员邀请了61名金融专业的学生和年轻的专业人士，让他们在半小时内玩这个游戏，结果他们的表现差得令人震惊。
在如此明显的优势下，仍有28%的参与者破产了。令人不安的是，有三分之二的参与者会在游戏中的某一时刻下注反面，这显然并不理智。平均而言，参与者最终拿走的钱是91元。这对于从25元起步的人来说，似乎是相当可观的收入。不过经过研究人员计算，如果不限最高奖金并且允许参与者尝试抛硬币300次的话，采用以下最优策略的参与者平均获胜金额将超过300万元！
在这个游戏中，玩家面临着一个两难选择：每轮下注过多，他们可能会几次就把所有钱亏光。但如果下注过少，他们就无法利用有偏硬币提供的相对优势。在这种情况下，我们可以通过凯利公式（Kelly criterion）来最大化我们的盈利。20世纪中期，贝尔实验室的科学家约翰·凯利（John Kelly Jr.）发现，要想赚到最多的钱，赌徒在每一轮游戏中下注的金额，应该占他们全部资金的一个固定比例。
在1956年发表的一篇论文中，凯利描述了计算出这个完美比例的简单公式：2p–1，其中p是你每一个回合的获胜概率（在这个有偏硬币的例子中，p=0.6）。在这个实验（奖金无上限版本）中，最佳选择是每次下注的额度正好是你可用资金的20%。这个策略会在你不断获胜时追加赌注；你输钱后，它会收紧赌注规模，让你的破产概率非常小。
相比起鞅策略而言，凯利公式是真实有效的策略，它已经在量化金融的实践中证明了自己如基石一般的价值。专业的二十一点玩家也会使用它在自己“牌感”变化时调整赌注。
不过，尽管凯利公式是有效的赚钱策略，但经济学家警告说，它仍然是一种隐含陷阱的赌博方式。首先，它假设你知道自己赢得赌注的概率，在许多赌场游戏中，这的确是成立的，但在股票市场等更混乱的领域则不然。此外，凯利公式认为，在有偏硬币的实验中，如果你始终投注你20%的全部财富，你最终盈利期望是最大的。但如果你有一亿，完全可以理解你不想把两千万拿去赌一枚硬币的结果。在某些时候，你需要根据自己的风险厌恶程度来调整自己的财务决策。
无论如何，如果你真的通过某种方式发现概率对你有利，那么请果断放弃鞅策略，凯利公式一定是你更好的选择。
最后还是听物理学家的，别玩！
本文来自《环球科学》2025年1月刊数学专栏：《下注的必赢指南》
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