曹则贤：经典力学：与数学创造同行（上） | 中国科学院2025跨年科学演讲

中科院物理所

2025-01-02 12:14发布于北京中科院物理所官方账号

2024年12月31日，由中国科学院学部工作局、上海市科学技术委员会、上海广播电视台主办，中国科学院物理研究所、中国科学院计算机网络信息中心、中国科学院上海分院、新浪集团承办，微博、新浪新闻、国家开放大学出版传媒集团协办的“复兴路上的科学力量——中国科学院2025跨年科学演讲”面向全网播出。


当晚，中国科学院物理研究所曹则贤研究员开讲《经典力学：与数学创造同行》。现将演讲全文内容整理如下，个别字词稍有改动。由于微信字数限制，全文将分为上下两部分推送，本文为上篇，包含开篇词、萌芽态的力学、圆锥曲线、牛顿运动定律与万有引力、物理量与运动的描述五部分内容。下篇详见今日的第二条推送，包含“坡”问题、虚功原理、达朗伯原理、高斯的最小约束原理、转动坐标系/刚体、莫珀替原理、拉格朗日力学、勒让德变换、哈密顿力学、哈密顿-雅可比理论、经典力学更多话题、结束语十一部分内容。

开篇词

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现场尊敬的嘉宾，远方屏幕前的朋友，大家晚上好！欢迎关注 2025 跨年科学演讲，我是演讲人曹则贤，来自中国科学院物理研究所。
今天我要聊的话题叫“经典力学：与数学创造同行”，也叫“经典力学：原理发现之旅”，待会我会讲为什么会有这样两个题目。
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本次演讲的原文件有 296 页 PPT，我肯定讲不完，之后中国科学院物理研究所会将 PPT 连同今天我的发言稿，统一整理起来向社会公布。各地的大学生、中学生，尤其是老师朋友们，如果发现 PPT 有可取之处，请随意采用。
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我说我们这个 PPT 是希望能够做到抛砖引玉，我的朋友说这是抛砖引“菜”！能引出菜也行。借助这样一个演讲活动，我特别想传达一个事实——学物理、研究物理、教物理，我们是认真的。
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为什么我们干这件事情？很久以前有一位泊松男爵，他说过一句话：生命之美好就在于两件事，做数学和教数学。
后来我查了一下文献，我猜他估计是说错了，应该是做物理和教物理。
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本人已经做过 5 年的跨年科学演讲了，今年第 6 年讲经典力学。但是物理学博大精深，内容实在是太多了，所以如果还有机会，我们希望能够进一步延续活动，接下来去讲数学物理、物理实验、仪器物理、原子物理等，甚至是物理学家、后物理学 Metaphysics，我们没有把它翻译成“形而上学”，这个形而上学，过去我们是当做一个负面的哲学批判的，但其实它是非常有用的一门学问。
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首先强调一点，很多人跟我讲，现在可能已经习惯了我的演讲 PPT 里满页跑洋文，我想说一下，我们这样做是想强调知识的原始表达，提倡一种正确的引用，免得引起误解，最重要的也是为了方便我们广大的学习者和研究者去获取原始文献。
说到这里，我们就不得不说母语的问题，以及在世界各地兴起的保护母语的运动。我特别想强调的事情是：一门语言，如果它不能适应社会的发展，不能够有效地去传承文化，它的消亡可能是必然的。
因此如果我们想要保护我们的母语，最重要的是，我们一定要去创造引领世界的文化，让我们的母语成为文化的载体。我就想说这一句：你要是贡献了文化，你就保护了母语。
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那么对于物理学科，我先讲讲物理学科的一些特性。1934 年的时候，爱因斯坦把物理学分成了“原理性的理论”和“构造性的理论”。像量子力学、电动力学大概都属于构造性的学问，像热力学、相对论，这都是明显的原理性学问。
而我们的经典力学作为最原始的学问，它是在摸索中逐渐成长起来的。它是一门原理性学问，也是其他物理学问的基础，因此它也就显得更困难。
我特别想说一个在我们的社会流传、我个人觉得好像不那么正确的一种认识——觉得像量子力学、相对论、规范场论是比较高级的，其学问是难的，而经典力学好像是基础的、简单的。这可能是误解！经典力学是我们最原初的科学理论，在它的发展过程中，除了要去定义概念，定义物理量以外，还要同时自己去发展出它所需要的数学，以及慢慢地把自己提升到原理的层面，因此经典力学才是博大精深的！
我可以负责任地说，如果大家能够把经典力学学到非常精通的程度，你会发现构造量子力学、构造相对论是一个水到渠成的过程。
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我们看看这几个原理性的学问，你会发现如果你把握了它的原理，那么都会特别好理解。比方说热力学，最重要的是卡诺原理，用大白话说就是：凡是不以做功为目的的传热都是浪费；那像规范场论呢？它有规范原理，用大白话说就是：一个物理理论的对称性要有冗余；那么相对论的原理就是相对性原理，它说的是：物理理论与参照框架无关，物理理论的表达与你所选用的坐标系无关。
至于说到我们经典力学，你看和其他理论就不太一样了，它的原理比较多，我捡三个重要的指出来，是虚功原理、最小作用原理和达朗伯原理。那么这样的几个原理，如果你要想用一句大白话把它总结的话，非常有趣——我们的道德经老祖宗给准备了现成的一句，叫“致虚极，守静笃”。
虚，而且还要到极致。大家如果理解了我们的经典力学里面最重要的虚功原理是怎么个“虚”法，而且要求极值、做到极致。大家就明白了经典力学是怎么构造的，也就是致虚极、守静笃。
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我们看物理学的时候，不要把物理学分得那么清楚，不要对具体的学问起分别心，因为真正的学问它一定是什么？是个统一的、有机的一个整体。在物理学里面我们还是要看到“同一（Unit）”，或者说德语的 Einheitlichkeit，这个词是非常重要的。
我们看一个视频（视频内容是一位演奏者将小提琴当做二胡进行演奏，编者按），请问大家这是什么乐器？如果你认为是小提琴，你就没看到一。
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（本页 PPT 右边视频的内容是一位演奏者用一根琴弦演奏乐曲，编者按。）我想借此说一下理解学问的层次：对于右边这位先生弹的琴，第一个层次大概是听到了琴声，第二个层次是你看到了琴，第三个层次是你看到它是一根琴弦，再往上的层次你要看到“一”，当然层次再高，是什么样我就不知道了。
不要光听到琴声，也要看到音。
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对于物理学研究的特点，我没想到会在一出河南的地方戏里，找到了一个非常好的比喻。有这么一出地方戏，叫《李天宝吊孝》，是说一个青年男子，他的未婚妻因病去世了——很伤心的一件事，他去吊孝，到了门口就大哭一声，一声哭出来以后，突然发现有问题了——他不知道怎么称呼这个女孩子，要是他称呼“姐”，人家女孩比他年轻，这不对；他要是称呼“妹妹”，这也不对，因为你其实是婚姻关系，这是个很重要的关系，所以你才能来吊孝的。然后他想，我要是尊重她，称呼她为妻子，这好像与事实也不符——人家没过门。
所以说这就是非常尴尬的一个局面。对于这种尴尬局面，他最后就想到了一个原则：就是从第一性原理出发！说，按照逝者为大的原则，即尊敬，先喊“姐”表示尊敬，然后将其作为妻子来哭，以表示对婚姻关系的认同。
那么比较看我们物理研究的情景，大概就是这个样子。
当我们面对一个物理情景的时候，我们要表示它，你要创造定义，创造概念，你还要发明一套记号，这套记号比较严谨，要遵循某些逻辑。而且其实这不仅遵从逻辑，那里面的不同对象之间还可能有一些微妙的关系，比方说我们学量子力学，都会说一对算符之间是个共轭关系，共轭关系 conjugation，也就是婚姻关系。它表示看似是个独立的个体——放在社会里它是独立的个体，但是同时它们又有一种什么对偶关系。
那么面对物理情形的时候，我们物理学研究也说，最后要遵循一个“第一性原理”。物理学的最高层次是要把它公理化，就是要讲理讲到极致。
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物理有一个特点，就是要用到很多的数学。在我讲电动力学的时候，我说了一句话：因为满是数学，所以容易明白。前两天在国科大讲课的时候，有一位女生上来跟我说：“曹老师我终于考上科学院的研究生了。我当年在考电动力学的时候非常发愁，就是听了你的讲座，听到了这一句：因为满是数学，所以容易明白。然后我一下子感到释然了，所以我经过努力学习，终于也考过了电动力学。我终于成为了科学院的研究生。”
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现在我们回归正题，我们说力学，mechanic 或 mechanics，我们汉语把它翻译成机械或者机械观，或者有人把 mechanics 就翻译成了力学，我们社会也有“四大力学”的说法。
但是我们看看，当我们读到这些词概念， mechanics of heat、mechanics of electricity、mechanics of atom、theory of quanta，就发现这里面的 mechanics 都不能简单地翻译成力学，它不是力学。
那么到底 mechanics 怎么理解？后来我在大神马赫的一本书里读到了他的这么一句：mechanical 这个词和“唯象的”这个词是作为相对的。也就是说，我们关于世界的理论有两个层次，一个层次是唯象的——我们就事说事。那么 mechanics 的意思就是说，你要深入到下一层次，要追问它的道理。
所以说当我们学习杠杆平衡的时候——大家都知道在我们中国的初中会学杠杆原理，但如果你在学杠杆原理，你看到了虚功原理，并且把它提升到哈密顿-雅可比方程的层次呢？这个大概就算你学会了 mechanics，所以说 mechanics 是什么意思？我觉得它大体上相当于我们汉语的“道”。
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所以说我就发现，我们中国人对于学问的要求是非常高的。我们平常说话的时候就会问，你知道不知道？大家想一下这个要求是蛮高的，“你知道不知道”大概可以理解为“你到底懂不懂力学”。
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那么力学 mechanics 或者“道”到底是什么？你会发现我们的《道德经》里面有一句话叫“天之道”，天道是什么？天道就是“损有余而补不足”，损是什么？损是减号。
我们会看到经典力学最高的原理就是讲一个“减”——动能和势能之差，以及积分的变分为 0 之类的。这个道理比较深，但是里面有个关键的地方，那就是“损”，中间是个负号！待会我会细讲这里面的道理在哪。
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力学关注的还有一个重要的东西，实际上是叫运动或者叫变化，那么“易之道”和 mechanics 到底又是什么关系呢？我们看孔老夫子在《易传》里面有这么一句，“天行健，君子以自强不息；地势坤，君子以厚德载物”，“君子以”被某些人理解为“一个君子用什么”，其实很难解释通。我们来看看他到底说的什么意思。
天行，行是 motion，健是指乾卦，君子以自强不息。自强和不息，两个是并排的，他的意思是说，乾卦的天所运行的特征，或者说支配它的道理。君子以，“君”是动词，支配它的道理是什么？支配它的道理是自强不息，这大概正好是我们动能的特征。地势坤，君子以厚德载物，坤卦的势，它的特征是什么？是厚德载物，你看恰恰是我们势能的特征。（“君”是动词，“支配”的意思，这里的解释中将“君子”的“子”理解为“之”，是一个代词，代指前面的“天”和“地”。编者按。）
我这么解释是有根据的，因为你读这篇《易传》，你读到别的地方的“君子以”的时候，也都是这个意思，你看“君子以经纶”，意思是说什么？天上有云彩，打雷的时候的特征是严密，密云不雨；山崖出泉，蒙卦说的是“君子以果行育德”，就是说山下出泉水，它的特征是什么东西呢？它的特征是俭行养德，所以说“君子以”的“君”是动词。
我这个说法不一定对，供大家讨论。所以说运动的道理，我们待会就会知道，是动能和势能之差，然后积分的变分要等于 0，这是历史，这是运动的基本道理，是所谓的天道。
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西方是怎么认识力学的？亚里斯多德说，mechanics 就是那些帮助我们克服困难的工艺、技艺，就是一开始你怎么用杠杆、怎么用滑轮这些技艺，但是这些技艺帮助我们克服了困难，当我们把这些 mechanics 里面的道理和发现上升到数学能表达的形式，从一开始的这些杠杆滑轮，经过抛石机这种机械，我们上升到方程或者是哈密顿-雅可比方程的时候，我们就完成了力学。
大家看我这些图，最后一张是用的是火车，这是为什么？待会我们会回到这个话题。
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那什么是经典力学？经典力学很有意思，经典力学是出现在量子力学之前。这个道理很简单，就像现在很多家的孩子，老大叫大宝，大宝的出现一定是在老二之后，因为什么？是生了老二以后，老大才被称大宝的。那么在这里也是一样，1924 年量子力学出现以后，在这之前的力学被称为是经典力学；1916 年广义相对论被推广了以后，称为广义相对论，才把以前的相对论贴了一个狭义的标签。
那么在量子力学出现以前，力学叫什么？叫牛顿力学，叫理论力学，叫分析力学，还会有一个重要的词叫理性力学，理性力学在中国有些书里会这么说，虽然表示很少，但是它非常重要。
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经典的力学和量子力学有什么关系呢？一些不太负责任的书里都会说“量子力学是对经典力学的革命”，我负责任告诉大家，不管是爱因斯坦还是普朗克，在当初构造量子论的时候，他们的论文里从来没有“革命性”的表述，或者试图用“革命性”来表述，而且在玻恩创造量子力学的时候，你看人家说的非常清楚：表达一个关于量子的力学，要尽可能地如人们所愿的那样与经典的类似。
新的量子力学要尽可能表达的和经典力学类似，而不是去闹什么革命。所以说经典力学不是对量子力学的革命，而且重要的是，在文献里都会特别强调，这次是对经典力学的 Umdeutung。什么意思？就是对经典力学的转译、对它的重新诠释、对它的提升，而不是什么革命。所以我这里说一个开玩笑的，如果有一个人对经典力学不屑一顾，他跟你谈论大谈量子力学，请你一定要顺着他话说，就不要跟他争辩。
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从经典力学到统计力学、量子力学，其中没有任何概念上的跃变，这一点是我后来认识到的。那么大家如果觉得这个不好理解的话，我再给大家举个例子，动物和植物之间其实也没有严谨的界限，你看这海里就有一种动物，也是植物（视频中播放的是一只非常可爱的海兔，它静止的时候就像海底的植物，但也会迈着它微小的步伐，在海底缓缓移动、觅食，果真是“静若处子动如兔”。编者按。）
大家想想，生物和植物之间都没有严格的界限，经典力学和量子力学中间哪有严格的界限？
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刚才提到经典力学还有一个重要的称呼叫“理性力学”，比方说这是我给大家找的几本法文版的理性力学。
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在意大利，经典力学也更多地被称为理性力学。而如果大家学习意大利人写的理性力学的话，你就会发现它更加容易带你走向广义相对论。因为爱因斯坦的广义相对论后面的理论，更多地是由一帮子从德国慕尼黑毕业的意大利学派的人完成的。
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那么经典力学的精神到底是什么？我把它总结出来就是“带镣铐舞蹈的艺术”，为什么呢？因为我们经典力学的学问不是研究简单的自由粒子的运动，它研究的恰恰是在约束条件下的运动。
这一点我们一定要大家理解——就是说，我们社会上经常会给大家谈论自由不是无边界的，是要有一定约束条件的，但是怎么处理约束条件下的运动，这是一门科学。
因此经典力学就是这样一门学问，我把它比作“戴镣铐的艺术”，那么在我们中国有一个特别具象的一门艺术，会跟你讲在有约束的条件下如何运动，而且还要发挥出最大的战力，也就是求极值。
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这样的一个艺术呢，是我们中华武术里面特别著名的，叫脱铐拳，大家看它是要在被约束的条件下讲究如何运动，发挥出最大效果，这是经典力学的精髓（视频播放的是一位武者，在双手被束缚的情况下表演出一段非常精彩的武术。编者按）。
那么怎么在约束的条件下去求一个最大值？这样最后就转化成了一个对积分求变分的问题，就是我们在理论力学课里学到的著名的欧拉-拉格朗日方程，为此当然你要发展数学。
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如果让我去总结经典力学的一个关键词的话，那就是“虚”，这个虚出现在虚位移、虚功、虚速度、虚功函数、虚力，甚至上升到虚力学的说法。那么“虚”字用一个特殊的希腊语字母的  来表示，那么它大概是什么意思？
它大概等同于数学实验，也就是说一个函数 ，你对它做虚位移，实际上是产生一个新的函数 ，这个暂时说不清楚，但是我想跟大家说的是，慢慢地，我们往下会多提供点信息。
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我想给大家说的是,我们中文里面会遇到两个不同的虚，一个是我们数学的时候会遇到虚数，解方程会遇到虚数，请大家不要用汉语的虚头巴脑的虚去理解它。反而是当虚数被引入的时候，数学家们就一再强调 Imaginary is real，虚数才是实的。
虚功原理一开始引进来的词叫 virtual，但是虚功原理被引进的时候，物理学家也是一再给你强调它才是实的，所以 What is actual？大家一定要理解，Virtual is actual!
而且碰巧的是，发展了虚数数学的，和发展了虚功原理的，是同一帮人，包括欧拉、高斯、哈密顿，他们都是理解虚数和虚功的高人。让大家一时理解“虚就是实”不太容易，我只是提醒大家，不要把虚位移和实位移给弄对立了就行。那么  表示的是虚位移，它和实位移的 d，是可以交换的，在你运算的时候这俩是可以交换的。
要理解这里面的虚和实，我倒觉得《红楼梦》里面这一副对联大概说的特别好：假作真时真亦假，无为有处有还无。正好是解释这个，一个是虚位移的虚，一个是虚数的虚，不是那么好理解，但是我提醒大家有这么回事。
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对于经典力学，我想跟大家说的是它首先是一门什么？首先是一门哲学，为什么？我们简单地把经典力学分成 4 个层次，第一个层次就是所谓的牛顿定理，那么第二个层次的方程就是欧拉-拉格朗日方程，第三个层次就是哈密顿正则方程，第四层就是哈密顿-雅可比方程。
首先看第一个层次，我们都知道牛顿的第二定律说的就是因果律，你给一个力，它就带来了一个运动的改变，就是你杵一下我就唉一声，这就是简单的因果律。但是到了欧拉-拉格朗日方程的话，它就是个经济原理了，说的什么？说的是这个世界上运行的东西，一定是某一个称为作用、称为 action 的东西，要取极值，取最小值——一般说要取最小值——这就是经济学原理了。
那么到哈密顿正则方程，这个时候就会告诉你，我的注意力都在形式上了，不仅这个方程是一定要保持这个样子，而且这个方程你给它做变化以后，最后你还得给我保持这个样子，这时候就是一种形式即内容的哲学。
哈密顿-雅可比方程它说的是什么？它说的是要变换，还要不变变换，而且是不变变换里的某些变换才能够有助于你提升，把学问提升到这个层次，这就是讲究到了这个形式与超越的问题。
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所以说大家学经典力学的时候，当你读到这样一句说：作用变量是一种非渡越不变量——你看，变量是不变量——这个时候你觉得很熟悉，而且特别容易接受，那大概经典力学你就入门了。记住，变量是不变量！这句话不好理解，以后慢慢学它。
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可能很多人没注意到，经典力学，还有一个叫法：几何力学。经典力学是一门几何，我们看它的数学还是这 4 个层次的方程，你看第一个层次的牛顿第二定律，它是有微分，而且是牛顿老师专门发展出来的微积分。我们大家都知道第二层欧拉-拉格朗日方程这就是变分，拉格朗日展示了变分学。
到第三个层次哈密顿正则方程的时候，这时候就有变换理论，要出现辛几何。至于哈密顿-雅克比方程呢？那就会需要更多的微分方程理论，然后还有形式变分理论，然后还会有什么李群理论等等，数学就更高了。
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最酷的是经典力学，我刚才讲它本质上是经济学，是 economics，为什么？因为它讲究重要的几个原理，包括光学的最短光程原理。我们知道有 optical mechanics，光学和力学是一家！它们是一个学问。所以说费马原理，也会被改造到我们的经典力学里的莫珀替的最小作用原理，甚至包括高斯的最小约束原理。
那么说到最小作用量原理的一个忠实的执行者，不得不提这样一种动物，叫凤头雨燕。我们看凤头雨燕的窝，它的窝的大小只能让一颗蛋勉强放进去不掉下来。也就是说它要是把窝多做一点，都是对我们经典力学的不尊重，我觉得它对原理理解得太棒了！
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今年准备经典力学是特别费劲的，为什么？就是经典力学的学问太多了，这里面牵扯到的每一个名字都是如雷贯耳，我不能给大家念，但是我要特别提出，这里面竟然有两位是女士，一位是沙特莱侯爵夫人，一位是近代的艾米·诺特小姐。
艾米·诺特小姐还被尊称为近世代数之父，一个姑娘家能把数学做到了被人称呼代数之父的程度，大家可以想象这有多厉害，最重要的是艾米·诺特小姐大学是文科毕业。特别感慨，我们的培养课程尤其是我们女科学家培养课程里面，我觉得要多介绍这两位成就到抽象层次的女科学家的学问。
我负责任地说我没有能力给大家讲懂，而且我也不太相信大家在几个小时的讲座里面就能够学懂，但是重要的不是说你听一遍就学懂，而是说你要听说过，这一点非常重要！非常高兴，我觉得这个理念很多从我们物理所毕业的人都能够接受，就是说：我可以学不懂，但是我要知道。
这些年的讲座里面，我们一些物理所毕业的子弟，他们的二代三代，主要是二代，都能够坚持听我的讲座。据说此刻在浙江的宁波就有我们物理所的毕业生的一对双胞胎女儿，10岁的女儿，又在坚持听我的讲座，我非常高兴，真的！我再强调一遍：我希望我们的科学家培养计划里面，尤其是女科学家培养的计划里面多讲讲这两位学问做到抽象层次的女科学家，待会我会细讲她们的成就。
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经典力学一些关键点上，也有这些大师写的著作，这些著作绝对比我们在大学里学的理论力学的课本好懂得多，但前提是你要认得这些字。但是我负责任地说，创造这些学问的人是能够把事情讲清楚的，这也是我这些年读书读了几十年，终于有一天明白的。
在你读书的时候，如果关于某个问题的描述，你一遍一遍读不懂，这事情不怪你，一定是写书的那个人不懂，所以说这时候正确的方式就是把这本书扔了，换一本。你会发现不管是多困难的学问，世界上一定有一个人，他是上来几句话就能跟你说清楚的。
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那么关于经典力学的认识问题，在我们国家的关于经典力学认识的问题上，我觉得我们很多话是大的，比方说刘慈欣先生的《三体》里面——我不知道这是不是三体小说里面的原话——当我们批判这位叶哲泰教授的时候，有一句话，“叶哲泰，你老实交代你是不是精通各种力学？”
精通各种力学？我想说的是你要能听说过各种力学都是吹牛，因为什么呢？各种经典力学发展到上个世纪之初的时候，你会发现冒出了电子力学，冒出了索末菲的超力学。1923 年、1924 年玻恩讲授原子力学，然后才悟出来说需要一门新的力学，1924 年 6 月 13 号，他的论文里面给创造了这个新词，叫量子力学。
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读到一句，有某学者说“牛顿花了 30 年发现了万有引力，我花了三个月搞明白了万有引力定律”。我看到这句话的时候，我也真的十分感慨，牛顿确实是花了 30 年发现万有引力，但是他花了三个月就搞明白了万有引力定律，我觉得不太可信，为什么？因为在我们这个世界范围的专业物理圈里面，大概搞明白万有引力的人就没几个人。
牛顿的这本关于他的万有引力和运动定律的书《自然哲学的数学原理》，一般人是看不懂的，所以说才有著名的诺奖得主印度人钱德拉塞卡，给我们写了一本 Newton's "principle" for the common people，就是给我们普通人解释一下牛顿的这本自然哲学原理，这个写给普通人的科普本，一般的物理教授也是看不懂的。所以说，大家误以为牛顿的万有引力很简单，牛顿万有引力可不简单！待会我会给大家证明。
为什么能看出不简单呢？我们大家想一下，为了写这个问题，牛顿是发展了微积分，这本书的 "principia" 是在英文表达里被称为 the book 的，前面要加定冠词的，而牛顿发展的数学方法——微积分也是要加定冠词 the 的。各位要考英语的学生记住了！这两个前面是一定要加定冠词 the 的，你想象一下这个学问要深到什么程度，你三个月就搞明白了？
我想说的是牛顿要是如我们理解的那样浅薄的话，他就不是牛顿了。
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对于经典力学的深浅，从运动角度，从所用的数学的角度，以及从处理的问题是单体、两体、少体、多体，还是连续体——连续体是简单的流体、可压缩流体，还是再另外加电荷的流体——来看，复杂程度都是很高的。
这里面随便拽出哪一本，比方说就是一个稀薄流体的动力学问题，都是很难的。在我们物理所的马路对面就有著名的科学院的力学研究所，而力学研究所做的某一个方向，就是简单的产生高速流体，那点成就就足以支撑我们国家在某些方面能够处于世界领先地位！所以不是那么简单的事情。
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关于力学的认识问题，对于我们国家的力学教育，我个人觉得还是有点担忧的，我们看我们中学里面的教科书或者考试题里面，有人认为力学是这个样子的（第一张图），那么我们看 300 年前意大利人的力学是什么样子的（右边的图），这是 300 年前意大利的普通书里面的，你看人家力学是什么样子。再看 100 年前维也纳中学里面教的力学是什么样子的（左下的图），大家比一下这三个图大概就能看出差别了。
所以说我觉得不管是学习的目的，还是学习的境界的问题，尤其是我们的孩子还很小的时候，我们要给孩子们讲清楚学习目的和学习境界的问题了。
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因为我个人觉得，如果学习的目的、学习的境界、对学会的标准不同的话，最终会影响你的学习效果，会影响学习人的气质的。我特别欣赏脱口秀里面的一段关于会不会游泳的判据，张彩玲的二姨夫的标准是：我要不能够驾驭水，这就不算我会游泳；而张彩玲老公的标准是：水要没淹死我，那就算我会游泳。
大家看这两种关于游泳的判据，它的差别还是非常大的，我觉得我们还是要把学习的境界和要求提高一点，因为这个讲座非常长，我不可能把它讲完，所以说我讲一页纸的经典力学，就这一页记住了，就算我讲完了。
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那么第一步，就是人们观察运动，提出的像速度、动量、虚位移、功、活力、势等概念，然后从实用方面又是制造机械试图省力，然后有杠杆原理、平衡条件、虚功原理等等，这是一开始干的事情。
那么牛顿时代就有牛顿的第二定律，然后有法国人的达朗伯原理，然后由法国人莫珀替等人提出的最小作用原理。最后有一个关于从坡上滚东西的这样一个问题，我管它叫“坡问题”，就引出了第五层次的定积分的极值问题，就引出了欧拉-拉格朗日方程。然后英国哈密顿把它提升到哈密顿原理，说动力学就是拉格朗日量的作用泛函的变分问题，我会给大家解释这什么意思。
然后第七层次就有了哈密顿力学正则方程。到第八层次，一个德国人雅可比进来了，有了哈密顿-雅可比理论，有了正则变换理论，引入作用-角变量，这样的话你就可以用于扰动论，去解天体问题，然后可以把它用来发展相对论的量子力学。
也就是说当你将 7、 8 两个问题，也就是哈密顿正则方程、哈密顿-雅可比理论很熟的时候，你再去看量子力学、相对论，你就知道人家整天在干什么，人家当初原始论文在推导什么，就能容易理解了。所以经典力学基本上这就讲完了，接下来的时间我们就是闲聊天了，就不那么烧脑了。

萌芽态的力学

现在我才讲到我讲座的内容提要。我已经讲完了第一部分开篇词：经典力学是什么样的学问。那么现在看萌芽时代的力学。
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一开始大家看到的都是运动，有一个很重要的词，西方人总结出来的叫“万物皆流”，就万物都是流动。所以说当初西南的某位教授提出治沙的一个做法的时候，当时我是现场评审专家，我是极力赞成的，因为什么？虽然他用的方法具体怎么样我不知道，但是他的哲学思想是对的。因为沙首先是“流”，治沙首先是解决流的问题，今天我们国家一定在这方面做到了，万物皆流，有这个运动就有人去考虑运动的原因。
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古希腊亚里士多德就是说运动是外力造成的，外面有一个驱动力，它动一下，就跟我们人上班似的，人戳你一下，你就往前动一下，不戳你，你就静止了大概。所以古希腊是这么认为的，那么怎么理解下落？他们说物体不同速度下落，就是寻求它的自然位置，是天生的倾向，大家看，这时候虽然有物理学的意识了，但它某种意义上说还是神学。
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后来你看，一发展出物理学，把神学剔除出去以后，形而上就慢慢变成了哲学，今天哲学中，与亚里士多德同时代的也比较齐名的，出现在同一幅油画里面的，有一个人叫 Strato，Strato 就不同意亚里士多德的观点，他认为不需要一个主动的神来去驱动宇宙的运动，而应该是把宇宙的运行赋予自然本身，这个是一个无意识的东西，也就是说存在自然科学这种东西，natural science。
也是 Strato 给我们造了 Physics 这个词，这就是我们今天的物理。而与此同时，我们中国在唐朝的时候，有一位著名的物理学家杜甫也说出了那句著名的话叫“物理固自然”，物理就是自然。
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那么 Strato 做出过什么重要发言？Strato 有一个重要的发现，就是注意到从高处喷出的水或落下的水它是会断的，而这高处落下的水断的话，断的雨滴之间的距离还是越来越大的。于是乎他提出了一个关于运动的分别说——下落是一个加速运动，而不是简单的就叫运动，是加速运动！
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在这个时代里呢，人们需要干活，就需要省力，就关注了两种重要的机械 mechanics，一个是杠杆，一个是滑轮。那么关于杠杆就得到了杠杆的平衡条件，这是我们中国的中学教科书里会教的，说平衡条件说就是指点两端的两个力，和各自的臂长相乘 ，这就是杠杆平衡条件，我们的中学物理教科书里是这么教的。
我请大家注意，如果是仅仅停留在这一步，浅薄太多了，杠杆原理内容多是因为什么？平衡是脆弱的！或者说仅仅在一个极端条件才有平衡，你带着孩子到游乐场去玩跷跷板的时候，整体状态是不平衡才对，对吧？平衡只是一个微妙的状态。
当然了，也不要小瞧平衡，仅仅维持一个杠杆的平衡，也就是我们的杆秤，这里面的科学写一本书都够。当年我们中科院的公开课里面，我有一个专门讲座就讲杆秤，而且我把题目叫做《物理学从不浅薄》。关于杠杆平衡，你写一本书都用不完。
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阿基米德除了发现浮力原理以外，他还发现了杠杆的威力，还证明了杠杆定律，使用过重心的概念。我们先看他发现的杠杆的威力是什么，我正好找到一个小视频，看看杠杆的威力在哪里（视频中是一个人拿着一根长杆，将杆靠在护栏上，松手之后杆的上端朝外边落下，内侧一端虽然力臂很短但是由于有速度，将人掀了下去。编者按）。
杠杆威力在哪里？杠杆威力不在臂长是什么，而是速度，那端运动的速度，所以杠杆原理会引入虚速度的概念，那个地方很重要。
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那么我们看阿基米德是怎么证明杠杆定律的，特别聪明！他是这么证明的：假如说一个均匀杠杆长度是  的话，那么你在中间支着它肯定平衡的，没问题吧？
好，现在我假设在  中间的地方，我把它分开了，分成两段了，那么你在它们各自的中段加上一个支撑点，它们各自是平衡的，没问题吧？
那么好，这就相当于各自的重量放到各自的支撑点，说明在支撑点上，如果杆是没重量的话，在那两个支撑点放上它们相应重量的东西的话，在原来那个点上是平衡的，于是乎就得出条件，，这就是杠杆原理！
你看这个证明是非常聪明的，我觉得无论如何要加到我们中学的物理课本里，特别聪明。
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另外一个机械就是滑轮，那么我们的重点课本里面是怎样教滑轮的？
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用滑轮去吊过东西的时候，重要的是你拉重物那一刻，拉住了那不算本事，拉不住才是问题，才是要研究的科学问题。
也就是说，去拉绳子的时候，你拽着它不让它走，但是你感觉到绳子好像要往上走、要跑，这个地方就可以引入虚位移的概念。而虚位移，请大家记住，它还是实打实的东西，因为你手稍不注意绳子呲溜就蹿上去了。
所以说当我们研究杠杆和滑轮的平衡的时候，请大家记住平衡是脆弱的，是一个极罕见出现的事件，是一个可以用数学方法表示为零概率零测度的构型，不平衡才是常态。
因此你需要的研究是趋势，是一个力学的形态，“它接下来要发什么”这个趋势才是你要研究的对象，这就是所谓的虚位移。古人说的“引而不发，跃如也”大概能表示这种状态，即拉弓的时候很吃劲，但手又没松那个状态，可能和虚位移有关系。
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那么我们再看阿基米德的成果，一个是漂浮，一个是杠杆。漂浮的平衡条件是浮力等于重力。杠杆的平衡条件是两侧力乘上力臂后数值相等。我们可以发现，平衡条件等号两边的物理量，第一个等式和第二个等式是不一样的。这两个情形都是平衡，但是却不在同一个平面、一个层次上。这样一来，我们更应该追问平衡到底是什么意思。
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平衡不是不运动。对于一个有很多质点组成的体系，平衡是外力之和等于零，外力加的力矩等于零，能匀速运动或者在体系内匀速的转动。
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荷兰人斯台文给我们大家区分了什么叫稳定平衡、非稳定平衡、中性平衡。稳定平衡指假设存在虚位移或者发生偏移后，系统能够自己回到原来的位置。非稳定平衡指先发生一个小的位移，这个位移逐渐变大，导致系统离开了原来的位置。中性平衡指拨动系统多远，系统就挪开多远，并且在新的位置保持不动。
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经济学里面还有一个需要理解的概念，经常作为关键题出现在各种力学书里：三个力如果平衡，这三个力就构成三角形的三边；三个力加起来等于零即三个力矢量相加等于零。最终表示成用这三个力的矢量作三边的三角形。
不知道大家对这个概念是什么感觉，但我最开始接触它的时候感觉怪怪的，有几个地方不理解，又说不出来怎么不理解。直到我读了 Hermann Grassmann 构造矢量与“线的代数”的过程，我才知道力的矢量和位移的矢量是有定义的：矢量 AB 等于点 A 减点 B。
理解了矢量的定义后，我们来看一下位置对时间的微分等于速度矢量这个等式。等式右边是速度矢量，但左边的矢量是从哪里来的？答案是：矢量从 dx 来。dx 是矢量，x 不是矢量，dx，也就是说位移，是矢量，是两点之差。
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从此之后，我们的力学就到了近代。意大利的伽利略是近代科学奠基人。他观察教堂里面吊灯的摆动，发现摆动是周期性的；同时灯油越烧越少、摆锤的质量越来越小但周期不变，说明质量不影响周期。于是他得出第一个定理：单摆的周期和摆锤重量无关。
灯油烧干后我们需要要往里添油，需要把灯从很高的地方一点往下放，放到地上再去添油，这个过程正是单摆的摆绳越来越长的过程。他发现 似乎摆绳越长，摆动周期就越长。周期和摆长到底是什么关系呢？成正比？不像。周期平方和摆长成正比？差不多。于是他得到了第一个物理公式：周期和摆长的平方根成正比。有了这个公式，人类就开始造钟表和计时器。
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伽利略还研究什么？他研究运动的起源问题。
他在用木头做的坡上放置小球，球会从一个坡滚到对面坡上。他发现如果在木头上面打蜡，使木头小坡足够光滑，小球从这边滚下去会停在对面相同的高度；如果把这个坡做得再平缓一点，小球滚动时间变长，并且还是滚到和原来相同的高度。
如果我们假设存在极限情况使坡的坡度等于零，这样以来小球为了达到和原来相同的高度会一直向前滚动，但是不管怎么往前运动，它的高度一点也不增加。就像我们现在在社会上做牛马似的，不管我们怎么努力提升自己，结果都是再做无用功。小球也一样，只能永远运动下去。
伽利略把这个叫做惯性运动：没有外力阻挠的时候，一个物体会一直地运动下去。
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伽利略还发现了运动的相对论。简单说就是，在一个匀速运动的体系里，比方说在水上漂的大船，它里面发生的力学现象和地面上发生的力学现象是一样的，是不受影响的。船上顶上水滴还是直直的掉到底下那个碗里面，小鱼缸里面的几条鱼还是和岸上一游的一样欢快，也没有一个前后方向的分别，这就是伽利略的相对论。
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但是伽利略最重要的一个工作是他得到了落体定律，他的实验装置就是右上角这个木质的斜坡。他让一个小球往下滚，沿着斜坡挂着不同的小铃铛，球往下滚的同时碰到铃铛就“叮铃”响一声。
他调整铃铛的位置，使得小球滚下来的时候发出的响声的时间间隔相等，再去量每一段路程两个铃铛的距离，发现每两个铃铛之间的距离比例是1:3:5:7。如果从顶端算起，每一个铃铛距离顶端的距离比例就是1:4:9:16:25，也就是说下落高度是和时间平方成正比的。
这个公式最重要的地方是什么？是这个公式和小球的重量没关系。无论使用什么样的小球滚下来，它的下落高度都和时间平方成正比，和小球的重量没关系。这里我还要强调一点的是：伽利略得到这个公式，实验设计和测量方法都很粗糙，但是这些都不重要，如果是照现在像某些人一样精确地用计算机拟合，就把物理定律给拟合跑了。所以说物理测量也不是越精确越好。
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通过这种方式伽利略认识到了不同重量的物体，从高处放下去之后会同时降落，传说他还在比萨斜塔把两个物体放下去，通过实验证明的方法让大家看到、两个物体是同步下落的，让大家都信服了。但实际上非常抱歉的是实验没有办法证明两个不同重量的东西是同时下落的，因为你永远说不清楚什么叫同时下落。
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那么伽利略是怎么证明两个物体是同时下落的呢？
他发明了一个叫做 thermoscope 的实验装置，是一个没有标注的温度仪，有标注就叫温度计。更仔细的来讲，就是玻璃管里面放了一些混合的液体和不同比重的、像泡泡一样的小球。当温度改变的时候，液体的密度发生变化，升温的时候密度变小，原先有些漂浮的泡泡就能掉下去；天冷了，原先掉下去的泡泡又重新浮起来。根据泡泡的漂浮情况，能大概判断天冷了还是天热了。这样一个装置是如何证明不同重量的物体下落是同步的呢？
我们给定一种密度的液体，有些泡泡飘着，有些泡泡很快沉底。如果我们减小液体密度，原先漂浮的泡泡下沉追赶先一步下沉的泡泡；再减小液体密度，又有一批新的泡泡下沉追赶刚才下沉的泡泡。如果我们假设存在某种极限情况，玻璃管内没有介质，那么原先由于液体阻挡而导致泡泡下落快慢差异的因素消失。造成差异的因素消失后，结局就是所有泡泡同步下落，这就证明了不同重量的物体下落是同步的。
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但现如今仍然有很多人死脑筋，做各种实验证明这个结论，比方说用高速摄影拍两个液滴确认这两个液滴是不是同步下落的。那么这两个液滴算不算同步下落？实际上是它启发我们倾向于去认为液滴是同步下落的，但是你永远不能证实这一点。
所以我特别想说的是：真正的实验一定是思想性的，是带思想性的实验。最有效的实验室是扛在我们人类肩膀上叫做脑袋的东西。
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我们来看一下伽利略自己在《论运动》这本书里面是怎么证明不同重量的物体是同步下落的。他假设有一重一轻两块物体，假设重的东西下落得快，轻的东西下落得慢，这就是原来亚里士多德的理论。现在假设把这两块物体粘一起，它就比原来这两个物体都重，按刚才的逻辑它应该下落得最快。
可是大家仔细想一下，原来两个物体一个下降得快一个下降得慢，粘在一起后却下降得更快了，这不符合逻辑是不是？就像我们都知道大人走路快，小孩走路慢，早晨去送小孩去幼儿园，牵着小孩一起走路却比自己一个人走得还快，这不符合常识。所以亚里士多德的理论是错的，重的东西和轻的东西同步下落，两者粘在一起后仍然同步下落，这样才没有逻辑矛盾，这个才叫做实验。
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简单的下落也会引出很多学问，由垂直下落我们总结出了机械能守恒，这些我稍后再细讲。关于平抛运动，你会发现它是自由下落加上平抛的惯性运动的矢量之和。如果还有空气阻力的话，还要计算上空气阻力。
从一点抛出一个东西，如何落到你想落到的这个点，都会发展出专门的一门学问，这门学问叫弹道学。大家也知道我们的解放军里是有专门的炮兵学校，其中弹道学是非常重要的一门学科。
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说完地上的运动，我们现在看天上的运动，天上的运动，天上有一批流浪者 Planet ，我们管它叫行星。
一开始我们觉得行星轨道都是圆形的，是完美的圆形，后来发现不是那么完美。托勒密就用圆上摞动圆的方式加以修改，这就是天文学里面的均轮-本轮体系。大家都知道，行星在天上运动没有留下实际的痕迹，我们关于行星运动轨迹的数据误差是很大的。因此有人就猜测轨道也许是和鸡蛋相似的卵形线，但是那个时候没有人给出卵形线的方程。
在1609年 Kepler 指出行星轨道可能是椭圆。两百年后 14 岁的 Maxwell 第一次写出了卵形线方程。说一句题外话，幸亏 200 年以后才有卵心线方程，如果 200 年前就有卵形线方程，用卵形线去研究行星运动的话，行星轨道可能研究不出来了。
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我们研究天上的运动的参照点是哪儿？参照点一定是我们脚下。在地球上我们看到火星的轨迹就是这个图里这个样子，这么复杂图，让你写出它的方程，大家想怎么可能呢？
这时候我们就发现我们还有关于太阳的轨道数据，虽然不可以严格相减，但你凑合一下把火星的轨道数据减去太阳轨道的数据，就相当于把参照点从脚下挪到太阳上，就会发现这几个行星的轨道是简单的闭合轨道，就有点像我们操场上的跑道了，一下子就简单多了。
虽然是很简单的一个步骤，但给我们带来了一个很重要的思想：朴素的相对论思想。什么意思？简单来说就是运动不会因为你参照点变了它就变了，但是运动的样子又确实因为你的参照点变了它就变了。
所以我希望大家能理解这里面的道理：同一个人，你从不同观点角度去观察他也是不一样的；但是他还是这同一个人，他应该有不变的地方。所以这就引入了一个重要的科学研究方法：变换。关于什么是变换我们之后再讨论，重要的是我们要学会用变换的方式去研究科学问题。
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到此为止关于天上行星运动就有了日心说，以太阳为中心。早先是地心说，以地球为中心。传说布鲁诺伽利略等等努力维护日心说，最后日心说战胜了地心说，但实际上事情不是那么简单的。
伽利略不是证明了日心说，伽利略自己用望远镜观测到木星有4个环绕木星的卫星。虽然月亮是绕我们地球转的，我们觉得行星是绕太阳转的，可是木星有4个小家伙，它是绕着木星转的，也就是说宇宙里好像哪里都存在中心。所以说在伽利略的时代，重要的不是日心说战胜了地心说，而是是中心说的消解。换句话说宇宙没有特定的中心，很多地方对于当地发生的情况都是中心。
看到这一点我就特别总结了一句：我立足处就是宇宙的原点，你立足的地方也是宇宙的原点，我尊重我立足的地方是宇宙的原点，也要要尊重在别人眼里人家立足处也是宇宙的原点。不是宇宙中心说，不是地方中心说，而是无中心说。但是这个无中心说最终也还是要引出了中心，也就是说当我们描述世界的时候，参照点这个事情还是一直在的，不能忽略。
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在伽利略的时代，波兰人哥白尼就总结出了行星三定律：行星的轨道就是圆上摞圆，是均轮-本轮的理论；太阳大约在各种轨道的中心，即日心说；行星在主轨道上也就是均轮之上，速度应该是个常数。这是哥白尼的行星运动三定律。
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到了开普勒时代，根据丹麦人第谷的更加精确的数据，他总结出了开普勒的行星运动三定律：行星轨道是以太阳为焦点之一的椭圆；行星到太阳的连线，单位时间扫过的面积在天上扫过的面积是相等的；轨道周期的平方和轨道的大小或者叫长轴或者长半轴的三次方之比是恒定的。这就是书里说的开普勒的行星三定律。
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如果我们细究一下，就会发现这里面有很多的问题。首先我们得知道这些内容阐述在哪里。
开普勒给我们留下一个一本非常有名的书，叫《Harmonices Mundi》，一般翻译成《宇宙的和谐》，但翻译可能理解错了，这本书实际讲的是宇宙是怎么组装的。这个插图用各种多边形的互相囊括，来阐述不同信息的轨道是如何互相包容的，以此谈论天空上的宇宙是怎么组装的问题。
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当然这和和谐是有关系的。音乐合奏也是和谐的一种，把不同的声音凑到一起组装的挺好，让你很舒服。所以说当我们用和谐这个词去翻译 harmony 的时候，请大家记一定不要忘了组装的意思。
因为在我们学的物理里面，大部分谈论的都是组装。除了刚才说的学的宇宙怎么组装的，固体物理学简谐振子也是组装。你找到一个方向，这个方向不同原子组装成一个单一频率振动的框构架，这个叫单谐振动。还有量子力学数理方程的球谐函数。我每次听人说起球谐函数，我都想起来穿球鞋。
实际上球谐的含义是这样：一套函数你用几个凑一起就安装出一个球对称的分布，再用几个又安装一套球对称的分布，你就能够理解原子外面电子的球壳模型，因为每一个壳层用的球形函数，那几个函数加起来就能够得出了一个球面对称的分布。所以说我们理解这个词以后，理解问题就容易多了。
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发现这样伟大的新型三定律，开普勒心情是什么样子的呢？我们现在很多同学觉得最高兴的事就是能发一篇 Nature、发一篇 Science，但开普勒是怎么表达自己发现三定律的心情呢？他说：我胜过你们人类。
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刚刚我们一直在讨论日心说、地心说、谁是中心，到处都在谈论心，说明心这个字是很重要的。所以说我们学物理要长心，我们关注物理问题的时候要关注心，那么谁关注心了呢？后来的牛顿特别关注心。
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那么我们看开普勒的三定律，实际上要仔细理解的话可能内容很多，比方说行星轨道是以太阳为其焦点之一，我们一定要知道“焦点”说的什么意思，焦点说的意思是“炉子”，因为行星运动轨道中间的那个东西叫太阳，我们说太阳就是个大火炉。所以说后来关于火炉子的研究就有光谱学，黑体辐射又会导到量子论，那么量子论需要的知识也和轨道有关系。
第二定律说行星的太阳连线在相等时间内扫过相同的面积，第三定律补充说的是不同行星的轨道周期的平方和它长轴的三次方之比都相同。意思是说这几个不同行星的这个数据是一样的，表明什么？第三定理说的是太阳的事。
所以说三个定律我们大家一定要看清楚，那么怎么样从这样简单的一个运动里面看出自然的奥秘，这是科学家要培养的能力。有这种能力的是大科学家，Kac 在赞扬爱因斯坦的时候就说：如果你也能像爱因斯坦那么伟大的话，你就能听见上帝的声音。
我们管做出伟大科学发现的人都叫什么？叫窥探了自然的奥秘，或者叫听到了上帝的声音。
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开普勒定理里面，除了刚才提到的“单位时间扫过相同面积，即角动量守恒”以外，还有一个重要的守恒量，在我们的力学里面——你看我们国内力学很少教的——叫拉普拉斯-龙格-楞次矢量。
拉普拉斯是法国人，龙格和楞次都是比较近代的德国人了，说他们俩“重新发现”，那么这一个矢量有多重要？看它和量子力学的关系你就知道多重要了。
拉普拉斯是拿破仑的老师，我请大家记住，拿破仑本人可也是法国科学院的院士。龙格是谁？我们学的一种计算方法就叫 Runge-Kutta 法。那么他是谁的导师？他就是创立出量子力学的玻恩的导师。而创立量子力学的过程中最重要的是要做出所谓的“矩阵力学”，矩阵力学要证明自己正确，就要解氢原子问题，用矩阵力学解氢原子问题，谁能干出来？就是泡利，泡利给创立了量子力学的玻恩做过助手，而解这个问题的时候变成了楞次的助手。
所以说我们这个地方不能光教角动量这一个守恒量，这个拉普拉斯-龙格-楞次矢量也一定要加进来。
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研究天上的运动靠什么？靠观察，靠光。那么既然研究运动靠光，所以说当初对于光和运动，人家就没把它们分开。我们注意到古代创立力学的人，伽利略、开普勒、惠更斯、牛顿、哈密顿波这些力学大家，都是光学大家！这里每一个人都有光学著作。当哈密顿基于射线光学，为我们的几何力学寻找对应的时候，他就发现这个世界上还缺一门力学，这个力学应该叫波动力学。
但是当时不知道波动力学是什么，到了 1926 年的时候，薛定谔才构造了量子力学的一个版本，那就是波动力学。
应该存在波动力学，这一点早在量子论之前就被提出了。创立量子力学的波恩所写的那本光学原理，也是经典光学的经典著作。所以大家一定要记住，当我们看天上的物体运动的时候，我们能看见一个物体运动，是因为有来自这个物体的光，因此你对这个物体的运动的理解和光不能分开。
我再强调一遍，这些创造力学的大家也是创造光学的大家。

圆锥曲线（椭圆）

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但是天上行星的轨道为什么是椭圆呢？如果是圆周运动不是更傻吗？不更好研究吗？对不对？开普勒在书里说“当我发现行星轨道是椭圆的时候，我都要疯了。”
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好，现在我们进入下个阶段，我们谈运动该怎么描述，然后再看椭圆运动。我们重点都会教大家匀速直线运动，在一个匀速直线运动的参考系里看另一个匀速直线运动，其结果还是匀速直线运动，所以比较简单。
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第二个我们会的运动就是匀速圆周运动，老师都会教说匀速圆周运动的时候需要向心力，向心力等于什么？等于质量乘上速度的平方，再除以半径。基本上我们的中学课本里面教到这个就完了，大家可别误以为你现在就知道了这个公式，里面内容可多了去了，为什么？
首先这个地方谈论的应该是负的 ，这个东西叫“离心力”，你拿一个绳子拴一个东西，绕着圆圈转的时候，可以把它理解为：你在绳子上施加的力和这一个圆球的离心力，二者的平衡。所以这个地方实际上是一个等效力，叫离心力。
然后这个公式你就可以把它理解成什么？你就可以把圆周运动公式理解成你施加的力和这个球本身的离心力，它俩之和等于 0，而这个等于 0 还要保持住，使得任何偏离原轨道运动的趋势都不发生。
于是乎就是这个力和虚位移的点乘等于 0，这才是达朗伯原理。
而最重要的是这个公式中所谓的离心力或者向心力，分母上面出现了一个东西：，这又是个新的物理量，叫“活力”。就像我们说人充满活力。另外，这个半径不是圆的半径，而是它运动轨迹的“曲率半径”。
只是碰巧对于圆来说曲率半径就等于圆的半径，但是，但凡你手松一点，轨道有点变的时候，这个半径就不等于圆的半径了。所以说这个地方的半径，大家一定要记住它是轨道的曲率半径！不能教给我们孩子说这个地方就是圆的半径，不是这么回事。
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所以大家看到这里面的内容实际上是很多的，而且启发很大。那么行星轨道我们都说一般是圆或者椭圆有抛物线，其实不是，应该是一串过来是点、线、圆、椭圆、抛物线、双曲线。这些不同的形态，如果我们抛一个东西，它一动不动就是一个点；竖直往上抛它再落下来速，运动轨迹就是一条直线；你往前抛它就抛物线；力气大能抛到第一宇宙速度不掉下来，它就是绕地球的一个圆；再使劲抛一点，它就能抛出一个椭圆轨道来，咱就能发射卫星了。
所以说你看点、线、圆、椭圆、抛物线和双曲线都是一个抛体的运动轨迹。如果几个不同的几何都是同一个物理问题的解，就说明它们一定是同一个东西，所以今天我们说的点、线、圆、椭圆、抛物线和双曲线可能是同一个几何的东西，这个东西是什么呢？这个问题早在 2200 年前就有专著给大家解释清楚了，这个东西就叫“圆锥曲线”。
Conic Sections 讲的是什么？其实很简单，大家回家到厨房里找两个形状比较规则的胡萝卜，把两个胡萝卜尾巴对尾巴放直，拿菜刀就能切出这些几何点。
在这两个胡萝卜尾巴接触的地方轻轻下一刀，假设尾巴无穷小，我们就能得到一个点；顺着两个胡萝卜侧面刚刚接触的地方，我们可以切出一条线；垂直于胡萝卜中间轴的地方切一刀，得到了圆；把刀偏一点，切出了椭圆；平行于主轴一刀切开两个胡萝卜，我们就得到了双曲线；在单侧边平行的地方，能够顺着萝卜的开口切出去，这样就是抛物线。
椭圆叫亏一点，抛物线叫刚刚好，双曲线叫有点过了头，你知道是亏一点、刚刚好、过了头，你就知道他们之间的能量关系是什么。为什么外国人容易揪出科学中的问题？因为我们翻译这些东西时是没有联系的，本来关联性很强的的学问，被某些人一翻译就不知道在说什么了。
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既然椭圆、圆、抛物线是同一种东西，那么椭圆有一个大家比较熟悉的定义就是到两点距离之和等于常数的点的集合是椭圆。
可是大家想想，既然椭圆是行星轨道，只有一个太阳意味着行星轨道只有一个焦点，说明椭圆一定只有一个焦点的定义。那么椭圆是怎么定义的呢？到一点的距离和到另一条直线的比小于一的常数的点的集合是椭圆，就是说这个比值小于一，对应之前说过的亏一点。
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当我们在远处用平行光照一个球的时候，这个球的投影是一个椭圆，表示一种空间的缩放。借此我们大家也能够理解投影几何里面关于椭圆的一些知识。椭圆的知识太多，此处我们不再细讲，就请大家记住一条，行星绕太阳做椭圆运动，到焦点的力或者加速度是和距离成平方反比的，但是到椭圆正中心距离反而是成正比的，这一点是我们一般书里没有的。

牛顿运动定律与万有引力

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目前为止关于行星轨道还仅仅是描述性的，道理性的还没开始，直到牛顿出现。我们老祖宗曹操竟然在一首诗里有牛顿这个词，叫“牛顿不起，车堕谷间”，意思是路很难走，牛拉车累得趴地上，这是开玩笑了。在西方人的眼里面，牛顿某种意义上是半神，被称为神族的几何学家。
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牛顿给我们留下了两本著作，分别是《自然哲学数学原理》和《光学》。在这里再提醒大家一句，牛顿的《原理》和《光学》不妨当一本看，而那些创造力学的人都是创造光学的人，而光学和力学最后合在一起变成了“Optical Mechanics”，他们是同一门学问。他们同一门学问的关键点在哪？答案就在牛顿的《光学》里面。
你理解了怎么描述曲线，就能理解为什么力学和光学是一回事。爱尔兰的哈密顿弄懂了牛顿，他就成就了经典力学的巅峰。英格兰的狄拉克弄懂了他们俩，成就了量子力学巅峰。哈密顿这个词，是世界上唯一一个时时刻刻都有人在输入的词。
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传说中，牛顿被苹果砸到脑袋后发现了万有引力。但仅仅是被苹果砸到还不够，重要的是通过苹果砸脑袋而得出力是有心力的概念。苹果会砸到脑袋，躲开会砸到地上，挖坑会砸到坑里，这证明地球对苹果的吸引是有心力。
苹果在树上时和大地有连接，苹果掉落的过程和大地没有连接，大地仍然吸引苹果，说明吸引力是不需要接触的。同理天上的月亮和地球也没有接触，地球可能也吸引月亮，可为什么苹果能掉下来，月亮没掉下来？牛顿就想去解释明明是同样的吸引力，有的东西掉下来有的东西不掉下来？不掉下来的那个东西的轨道是圆，椭圆还是抛物线？那么牛顿是怎么说明的呢？

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他说是开普勒的第三定律启发了他，去得出地球对地球之上物体的吸引是平方反比律，而不是什么苹果，重要的是周期和长半长轴的  次方成正比这个事情。
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这个地方重要的是关于有心力的概念。有心力是说，从一点我们有一个位置矢量，然后这一点还运动，所以说我们就有两个矢量。两个矢量能定义什么？两个矢量就能定义一个平面。所以说行星轨道运动始终是在平面上面这样的一个矢量，就是位置矢量和速度矢量的叉乘，再把质量带进去，这就是所谓的角动量。那么对于有心力的话，很自然的，角动量是守恒的，这就是行星运动的第二定律，说单位时间扫过的面积就这么解释。
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当然从数学方面你可以很容易证明这一点，证明这个地方我们一般的书里面证明也还行，但是如果大家学几何代数的话，会发现用几何代数你证明的东西就更简单，更加容易证明。
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我再提醒一句，大家如果学会用楞次矢量，再学会用几何代数的话，学这个东西，反而更容易。这些数学就不讲了，只是说大家去看这样一个在平方反比律下面去推导运动方程的话，用到这个叫微积分。
当然，当时牛顿手里也没有微积分，所以牛顿老师还不得不自己发展出微积分。我们现在就可以证明出在有心力下运动的轨迹解出来的轨迹就是椭圆。
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大家看  这个方程就是椭圆方程，但是这个 u 是曲率半径分之 1，或者说曲率，也就是弯的程度等于  形式，这就是椭圆或者抛物线。
所以如果我们把这些数学要是学明白的话，就会发现学这个物理很简单。
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我再次想强调大家，就是说也许使用的数学学问越高深，问题就会变得越来越简单明了，反而好懂。因为你对一个问题的阐述，不用那个层次该有的语言，他就会越说越糊涂，就是这个道理。那么我甚至想说不教有用的工具却要求我们的学生去理解，我觉得这有点欺负人，甚至很多时候我们的老师在自己欺自己。
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行了，有心平方反比例这些数学咱就不讲了，咱接着往下讲故事。
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这里弄了一页只想告诉大家，牛顿发现万有引力不是光靠苹果砸脑袋一下。人家牛顿老师画的图去解这个问题，试图证明平方反比力，下面运动轨迹是圆和椭圆的时候，用这个图你看有多复杂。不要期望苹果砸你脑袋一下，就能得出那么大的成就。好，咱们加快一点。
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那么牛顿在考虑地球吸引苹果的问题的时候，苹果可以当做一个点，可地球这么大个你不能当做一个点，他就近似把地球当做一个点，把问题解决了以后，然后也相应它的发展出的微积分，反过来会发现近似不是近似，而是严格的。也就是说如果你设想苹果和地球之间的吸引，它上每一点的吸引是距离平方反比的话，那就等效于苹果和地球所有质量集中在地心，等价的结果是一样的，是严格成立的。那么这个时候就注意到一个很有趣的现象了，就是苹果的重量是什么？
苹果的重量是地球吸引苹果的所有力之和，于是乎我们说苹果这个重量是二两。但是这个时候如果从苹果的角度看地球的重量的话，因为作用都有反作用，所以说就当地球对苹果的吸引力来说，因为地球造成了苹果的重量这个角度来说，苹果重二两的话，你会发现很有趣的是，这时地球被苹果造成的重量它也是二两。所以说各位地球和你到底谁重，你们俩一样重，因为这就是相互作用。地球造成你的重量，或者它对你的引力和你对地球的引力和它是一样的。所以这就是很重要的一个结果，就是“我与地球同重”，当然你和地球也一样重，
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那牛顿还很了不起的，他又得到了这个单摆的公式，而他对单摆的公式的推导更酷，他就简单地用挪开一点的时间，和挪开一点获得速度等于周期比上挪开这点距离除以周期（：：）就这么一个简单的公式，就能够得出来说周期和摆绳的平方根成正比，和伽利略的推导完全不一样。牛顿的推导的方式也应该写到我们中学的教科书里面，太酷了！牛顿万有引力就不往下讲了。
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那么牛顿三定律的第一定律强调的是什么？任何不受外力影响，物体保持静止或匀速直线运动，这种保持一个状态不变就叫惯性，但是我们把它翻译成惯性，实际上 inertia 这个词它就是懒的意思，就是懒得动对不对？我对你改变我的抵抗，就是我的懒惰，就是我的惯性，这也好理解。
牛顿第二定律说置于外力下的物体，其加速度正比于合力；比例系数，就是刚才懒的具体度量，叫（惯性）质量。惯性、质量，在德语里面都是一个词。那么第三定律说作用总等于反作用。这一套是牛顿三定律的表达。
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后来的马赫对他换了另外一种表达，他会把第一定律表达成什么呢？孤立体系有一个运动量守恒，它运动量指的什么？指的是物体的速度，乘上它的质量，这是一种表达。然后他把牛顿第一定律和第三定律结合在一起表达说两个物体是怎么样的——两个物体有相互作用是它们各自的动量加起来应该是个常数，这个表达也挺好的。牛顿第二定律是说什么呢？是说运动量的改变和它受力成正比。但是我就觉得我们中文的教科书里很少有敢对牛顿批判的，而在西方的这一个物理学里面，对牛顿批判的是有的。一定要指出来。
牛顿第二定理  是一个鸡生蛋蛋生鸡的一个东西，你说力造成了运动的改变，然后反过来又说用运动的改变去比较、去表征受力，所以它俩就是鸡生蛋、蛋生鸡。所以我当年学物理的时候就理解不了，或者不是理解不了牛顿第二定理，而是不知道拿它怎么办。
请大家注意就是学物理的时候，一定要好好设计多往前想一步，但凡觉得哪地方有问题，它一定是有问题。而这个地方牛顿第二定律的鸡生蛋和蛋生鸡的问题，就是未来力学发展的方向——就是要把这个事情搞定，往下深入发展。
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那么我们看牛顿如何证明引力的平方反比律的，你看人家用的都不是简单的圆形，而用的是比较一般性的图线，那么它最伟大的地方是在哪？这个地方窍门在哪呢？你看受一个中心点吸引这个物体它是这么运动的，但是假如说如果没有这个力的话，它应该是惯性的往前运动的，这就是切线。导致运动这一点（点）和中心（点）连线的时候，它可以延长到切线（点），那么这一小段就相当于在地球表面物体的下落这一点过程。而这一段可以简单用刚才的伽利略体落体公式正比时间平方这个东西来处理。那么这样的话就能证明点这个地方的曲率半径和受力和连线的长度平方成反比。
谢天谢地，幸亏有钱德拉塞卡这样的诺奖得主，给我把这个事情讲清楚了。以前大家看如果你要看牛顿的原著的话，你就会发现牛顿是用平面几何带微分，证明了平方反比力下运动轨道是圆、椭圆和抛物线。我提醒大家注意，300 多年前牛顿老师用的平面几何是带微积分的，那在我们国家的中学教育里面也有平面几何，请老师们能随便提一句，告诉孩子们平面几何是可以带微积分的，不用教孩子们，但是让孩子们知道有这件事就行，再读这种数字也不会太困惑。
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牛顿同时代人，我们都知道还有一个荷兰的大拿叫惠更斯，我们也都会读到说牛顿和惠更斯在光的波动说和粒子说之间有矛盾，但是别忘了他们是同时代的巨人，他们更多的是惺惺相惜的。我们看，1673 年惠更斯应该比牛顿岁数大一点，牛顿得到惠更斯的这本著名的书《钟摆》，惠更斯据说也是第一个做出钟摆的人。请大家记住我们学单摆就简单一个公式的，而这本300多年前的单摆的书又大又厚，在我们中学课本就成了一个伽利略的单摆公式了，单摆里面学问很大。
那么惠格斯在单摆这个词里面很重要，单摆这本书里面造了一个很重要的词叫离心力，我们讲同时注意到圆周运动里面出现  ，这是一个叫做活力（Vis Viva）的东西，这些东西将来就要和离心力放在一起。这个概念的演化也是一个时间很长的东西，我们书里不太容易讲清楚。
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这个地方我再提醒大家一句，就是关于椭圆运动，这一个吸引中心所受的向心力和距离平方成反比，大家是都知道的。但是还有另外一个事实，椭圆所受的向心力是和它到中心的距离成正比的，几何上不太好证明。
那么我再强调一点，在我们的教学书里面都只会教牛顿三定律，但是牛顿三定律是不足以描述力学的，牛顿三定律还有牛顿的 7 个引理，而我们都不再提了。我只想告诉大家，像牛顿定律这样重要的公式，如果我们多少能够吃透他一点精神，你如果只想去发财的话，你就可以拿它去发财了。
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牛顿的定律说力等于质量乘上加速度，那加速粒子是什么？如果一个粒子带电荷的话，它的力  ，于是我们就可以把方程写成速度对时间的微分，就是所谓加速度，应该等于它的 q 除以 m 所谓荷质比乘上电场  。
那么这个公式是什么意思？就是要有本事会设计 E 随时间和位置的变化，就能把电荷送到指定的地方去。
大家都知道我们现在国家的快递业有多发达，那么你把东西给人送到地方，人就给你钱。你看这个公式。简单的牛顿的公式，要学会怎么设计电场随空间和时间变化的时候，就能把电荷送到指定的地方去，这就是各种的电子学仪器的运行原理。
那么我们大家看，这就是简单的四极质谱仪，四极质谱仪的四个杆上面设定好的那种一对一对上有震荡电压。那么，把电场设计好的时候，就能够把某些电荷从这个地方过滤到允许它到达的探测器，这就是四极质谱仪的工作原理。如果没有这一条，那四个金属杆可能卖二十块钱，有这个原理把电荷能送到底下，这一套能卖人二十万美元，就是这个道理。这是第一个。
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那么另外一个简单的牛顿力学的，可以说另外的一个就是叫飞行时间质谱仪，我们都知道我们国家从月球上面取得了月壤，那么月壤的分析，一个用的很重要的仪器就是所谓的飞行时间质谱仪，它讲的是什么呢？
他讲的是说你把样品这个地方用一束激光也好，电子也好，你把它打出来一点，打出来的虽然动上来运动的有快有慢。但是你给他加了很多的能量，比如加上 1000eV 的话，他们初始时的能量就可以不用管了，就可认为初始动能都差不多。
但是初始的动能就差不多，我们大家知道动能  ,动能都差不多，那么质量不同的话，它跑速度就不同，跑的快慢就不同，这样的话你把它这地方放进来给跑到这地方探测器，我只要看它到达的时间的时间的信号差，我反过来就能算它的算出来的质量不同，然后就能做到对样品的质量分析，这个东西就叫飞行时间质谱仪。你把这一个东西仔细做到说我的这样的相对分辨率达到百万分之一甚至更高，那就是一架高精尖仪器。
这一个我用这个例子，想说的是，尤其是给我们的物理老师同行们想说的一句话是什么？就是物理学是关于自然的学问，是真关于真实发生过的传奇。因此我们给孩子们出题的时候，一定要出那些真实的真正的物理题，你不要在教研室里瞎编题目，因为我们的物理学史上发生过的那些题，就足以完成对我们孩子的科学训练了。
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一个法国人，拉格朗日明确指出，牛顿定理是正确的，但是是不够的，因为牛顿定律那里面连动能这个概念都没有。所以说牛顿力学不是经典力学，牛顿力学只是经典力学最初级的那一部分，后面力学还多着。

物理量与运动的描述

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那么接下来我们就说运动怎么描述的问题，我们怎么描述运动？描述运动，首先一个物体本身特征就是它的质量，就是它的惯性，就是它的懒惰。每一个像我这样当过胖子的人都能理解懒惰和惯性，惯性质量是什么意思。至于引力是另外一回事。
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既然有位置，挪动这位置（你可以说位置是标量或是什么都不管它），但是你只要挪动了一下（挪动或叫位移），它就是个矢量。矢量除以的你挪的时间就是速度，速度是个矢量，所以现在我们就有了质量、位置、位移、速度、时间这几个物理量，我们现在不做物理研究，我们就做纯数学。有这几个数学对象，你看你能构造出什么数物理量来。
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那么第一个，我们觉得一个物体运动要有一个描述运动的量，那么最简单的运动量是什么？就是速度本身乘上它的质量 （）。大家都知道在操场上跑要达到同样的速度，胖瘦不同的人，他其实是表现出吃力程度是不一样的，所以说用质量乘上速度表示运动的量是很正确的，也是很自然的。但是大家记住动量的变化或者差叫冲量，这个概念到底从哪来的？其实反而是关于骑兵和步兵的考虑，据说是当年的亚历山大大帝带着他的军队往前冲的时候，有一天突然明白我的步兵和骑兵是不可能按照同样数算的。同样数目的骑兵它的冲量要比步兵要大得多的，所以说据说有这样的考量才有这样一个概念，叫质量乘上速度才是个动量。
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那么这地方就有一个问题，就是我们说位移是个矢量，速度是个矢量，是个 vector ，到底是什么意思？在我们的一般教科书里都会教大家说矢量是既有大小又有方向的量，对于某些矢量来说是这样的，但是我请大家记住，矢量不需要有长度，也不需要有方向。因为矢量这个词新闻里 vector 本身它是携带者的意思，就是那些病菌的携带者，拉着雷达的车、拉着飞机的船，都叫 vector。所以 vector 本身意义是携带着什么，一定要从这个地方理解，而不是有既有方向又有大小的量，不是那么简单的。
好，那么现在不管怎么着，我们说速度是个矢量，动量是质量乘上速度也是个矢量。矢量本身按照四元数矢量的理解，本身有个平方的问题，那也是个标量。所以一个矢量和自身的乘积得出了一个平方这个东西就是速度平方，再乘上它的质量，就是刚才我们说圆周运动里就有个东西，这个东西叫活力。
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关于矢量和标量我们大家一定要熟悉，就是一个矢量是1846年哈密顿引进的矢量，这个矢量是指四元数，后面的  这三个东西，这个矢量只有三个分量，这三个分量之间是有乘法规则的，就是我们中学时候学的右手螺旋定则，我们的老师从来不给我们介绍右手螺旋定则是一种算术是一种乘法的东西，所以说我们老弄不清楚，而Hermann Grassmann那里来的这样的一个矢量，反而是说是点的差， B 点减 A 点就等于位移 AB ；如果有 C 点的话， C 点乘上位移 AB 就等于三角形 ABC 。
这是这一套数学都是有的，可惜我们不教，也就后来有一个叫吉布斯的美国人，从欧洲留学回去把这一套数学带到美国，然后又嫌这个麻烦，他把内积和外积截然分割开了。而我们的数学我们的物理数学课程很多是从美国移植过来的，很多人根本不知道内积和外积或者点乘和叉乘原来是同一个乘法的两个部分，就相当于一辆车，把车头车尾分开了，还误以为他们俩谁跟谁没关系，所以你学起来就费劲了。提醒大家一定要关注一下矢量本身什么意思。
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那么现在我们还会描述怎么运动？有质量，有一个位移矢量，有一个速度矢量，到底能凑出哪些量呢？就能凑出动量，还能凑出一个标量叫活力。有人会加上一个 1/2 因子，就是我们学的动能，我们中学都学了。那么另外不同矢量相乘就有一个外积和内积的问题，外积会给我们引入角动量，内积这个地方就会引入位力（virial），也是西门力或能的意思，一般的中国教科书就讲了，位力将来就是引出暗物质暗能量的出口。好，现在不管他。
我们总结一下，假设我们目前只考虑这5个基本角色：动能势能、动量、角动量和惯量矩，那么动能像势能组成一组加法的就是总能量。我们一般都会挂在嘴上说能量守恒，是动能加势能能量守恒，两个量之间如果简单的代数关系的话，有加法还有个减法，对吧？
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那么动能减势能是什么意思？我们发现好像很难赋予它意思，但是这件事放在我们心里，那么  是什么意思呢？你要说它没有意思，也许是在这个层面上没意思，我们把它提升换个层面，比方说我们把它对能量积分，对时间积分一下，动能和势能的差，积分一下是什么意思？好像也没有什么意思，但如果我们要求它的变化等于 0，是什么意思？我们会发现令动能减势能对时间的积分变化等于 0 的时候，竟然是我们这个世界的基本道理——一个粒子或一个人或一个社会选择的道路，竟然就是满足这个要求的道路，这就是我们后面要学的最小作用量原理。
如果我们的数学要足够好，好到跟我刚才提到那个女孩艾米·诺特一样好的话，你从这样的公式里面竟然能炸出很多守恒定律来。这就要求我们有更好的数学能力，也就是说当我们的力学到这个层面的时候，对大家的数学要求就太高了，也是对我的讲座发起的极大挑战，但是我还要把它都呈现在这里面，放到我的 ppt 里面，各位有心的大学生、中学生、中学老师、大学老师，大家感兴趣的话，你慢慢研究。
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我们现在看怎么描述运动，描述运动要有参照系，参照系有这么几种，你看一种是固定参照系，一种是运动参照系。像小鸟描述小鸟运动，它就是个运动参照系，因为相对牛也是运动的对吧？再看，这是北京会有的鸽哨，飞行的物体发出声音，这就是关于运动物体的辐射问题。你要习惯于这个问题的时候，你就能够理解电动力学了，这是几个不同参照系的问题。
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还有，运动学的条件就是，运动不是由着你自由运动的，而是要受各种限制。关于这些限制，后来的赫兹和波尔兹曼给我们做了一些区分。
如果用一个简单方程描述的代数方程描述，那就叫完整条件；如果不能用代数方式，而这用微分形式描述就非完整条件。那么处理这种不同的约束条件，在力学里面后来要做变分原理的时候，是都要考虑的，它需要我们对于相关的数学要比较熟悉。
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但是有一点我要提醒大家的是，我们讲运动的时候，为什么在我们的课本里面都会只教大家匀速直线运动和匀速圆周运动？那是因为直线的话曲率等于 0，它就是直的；圆周运动它是个等曲率的，所以比较简单。但是一般情况下是什么？一般情况下这个关键词应该是“曲”对吧？我们说你看一条线一条路是曲的；我们说材料有九曲有弯曲；而我们人活在世上有委屈、还要蜷曲在某个角落里面，人性也扭曲等等。所以说你看所有事情关键词落在哪？落在这个“曲”。所以说你学物理最起码你要学到如何描述曲线这个程度。
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那么怎么描述曲线呢？我们发现描述曲线一个最重要的参数是什么？是从某一点起的距离。大家看你看我们从北京出发的有很多不同的高速公路，描述这个高速公路是怎么样的？描述的就是离某个起点规定为原点的距离。回答“你在哪？”表述的高速都说“我在几号高速公路上多少公里处”，一下就说清楚了。
所以说用那个路本身的长度去描述这条弯曲的路是最自然的，但是自然描述的有什么好处？描述的一个好处，就是这个距离公式，将来自然而然走入黎曼几何。而这样一条曲线，你要是求它的这样一个切矢量的时候，非常有意思，它的切矢量本身永远长度等于一。对“切矢量长度等于一”这个关系一微分，就等于切矢量本身和切矢量本身的微分恒等于 0。两个矢量点乘等于0，说明它俩是垂直的。既然是切向，就会发现这个东西居然是法向，法向就表示它是怎么弯曲的，于是乎我们找到了怎么描述弯曲程度的学问。
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怎么描述弯曲程度，还有一个特别酷的，好像是高斯得出的，说描述这条路怎么弯曲，就看这条路的长度和你直接从头到尾取直线，看它比它长多少，再除以它本身的长度，就能表述这条线的弯曲程度，于是乎有

这样的一个曲率公式。我觉得太天才了。咱怎么描述弯曲这个事情，大家一定要好好学，因为这个不学会怎么描述弯曲，接下来玩运动的东西就没法往下走。
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这个曲率公式、怎么描述三维空间里的弯曲运动，我就不给大家细讲了。我只给大家讲学问到底谁做出来的——是一个法国人叫克莱洛做出来的；曲率公式在什么时候得到的——他13岁时候得着的。
所以各位看我们的力学教学里面，我们只教直线匀速直线运动和匀速圆周运动，但凡遇到弯曲曲线他就不教了，是因为什么？说描述曲线太难，我们中学不教，我觉得我可以忍，对大学不能不教，为什么？你看人家13岁第一次在法兰西学院 5 个下属研究院之一宣读了曲线研究论文，最酷的是，这个论文的后面添了一行字“我要成为你们学院的成员”，人家说你毛头孩子你当什么我们学院的成员；他 16 岁的时候提交了关于双曲率曲线的研究。那么这时候他 16 岁了，这时候还是投到那 5 个科学院之一（跟 13 岁不是一个）了，说我要成为你们科学院的成员 。看在这论文面子上他们说行吧，所以他 16 岁就当选了法国科学院的院士。所以我想说的是，300 年前，一个法国的 16 岁少年都能够得到物理空间中的曲线的曲率表示，我们有什么理由在一开始学运动的时候，不教大家怎么去描述曲线，对吧？我觉得我们现在 13 岁的孩子能理解这些东西。
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那么接下来描述运动。描述运动需要两个层次，一个层次刚才运动量就是动量，另外一个层次就是刚才说的活力或者叫动能，那么动两个物体碰撞的时候，动能一定是减少的，因此描述这个运动的话，这两个层次一定是一个等式和一个不等式，这和我们描述热力学的话一定是一个层次的等式，能量守恒和一个层层次的不等式熵增加是一样的。描述物理事件的始终是两个层次，一个层次的等式，一个层次的不等式。
这个地方我希望大家能注意到，大家在极端的简单条件下，我们假设它是弹性碰撞的，我们这个地方取等号，这就是动量守恒、能量守恒，这是我们一般中学教科书里会教的。教这时候我们一般都会说，我们假设两个球碰撞的时候是弹性碰撞，大家想象一下两个球碰撞只要你听到响了，它一定不是弹性碰撞对不对？你刚才一响的话，那就有部分能转化成空气振动能就出去了，但是我们假设它是弹性碰撞，这个假设没问题。
将来我们会学到光和电子的碰撞，我们真可以假设它是真的弹性碰撞，由弹性碰撞，我们就能得出来光子动量该等于什么，确立光子的概念，所以说弹性碰撞帮助我们建立起了光有光子的概念。1926 年一个化学家路易斯起了“光子”这个名字，所以说大家不要小瞧弹性碰撞的研究。
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现在请大家关注一个问题，就是这个地方（注：指该页 PPT 中的最后一式），我当初学弹性碰撞的时候，我对这个公式就注意到他哪里不对劲。因为大家看这4项都有  是吧？我们老师一般都会教的都是系数应该都消掉的；但是又说好像不应该消掉，如果不应该消掉，得有个道理，为什么有1/2对吧？所以说我们一定要交代清楚为什么有 1/2 的问题。那么为什么有这 1/2 问题？其实这个事情可不那么容易。
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我们说先说  这一项的引入，是从“一个研究落体掉到一定高度的时候，到底会具有多少能力”这件事开始的。一个荷兰人，去研究了这个问题，是怎么做实验的呢？他从高处掉下一个黄铜的球，底下堆一点烂泥，根据烂泥的干湿程度不同来研究这泥砸这个球砸到泥里面到底砸多深，来判断出它从不同高度落下来有多大能量，其实这个挺好玩的。这和我们小时候玩泥巴，也是用泥从高处“啪”摔下来看冲击力类似，这个实验就是看一个黄铜球砸底下的烂泥坨子研究到达地面上的速度和压入深度的关系。
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1722年的时候，他把这个研究结果告诉了一个15岁的女孩，就是这位 Du Châtelet 通报了冲击烂泥坨子实验。这个女孩后来思考发现说对于不同质量的球，你会发现它砸这个球坑或者它具有的能量是用  表示的。那么这个女孩我必须想，我想说的是人家是怀带着两个孩子怀着第三胎的时候，把牛顿的那本几乎谁都读不懂的自然哲学的数学原理给翻译成法语的，而到今天那还是法语的最好的译本。
而请大家记住，人家不过是个家庭妇女，最重要的是人家不光是翻译牛顿自然哲学原理，后面还附上对牛顿的自然哲学数学原理的形而上批判。因为你光翻译人的书，对人家的书没有发展，这个不算大学问，所以说这个厉害到什么程度？1746 年意大利波罗纳的科学院，就是伽利略所在科学院，当年给这位女士写信说：“鉴于女士您对欧洲物理学界的影响，我们请求你成为我们学院的 Member ，可否答应”。那么还有一个能证明她的影响力是她最先研究红外线、也研究活力阻的这篇文章，据有人举报说康德剽窃了她的论文。康德就是写三大批判的康德，有人举报康德就剽窃过我们这位女士的论文，可以想象这位女士的影响力有多大。
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好，现在我给大家讲一个关键的，怎么简单的从落体运动去推导机械能守恒定律，实际上这个不是推导，而是构造。大家看这个过程是很重要的。
我们先注意到，下落物体下落的高度越大，获得的速度越大，这个没问题。但是怎么个越大法？是说这获得速度和下落高度成正比，好像不符。后来说差不多应该是，获得速度的平方和下落高度成正比。那么如果我看中间过程就是从这中间的1点到2点的话，那么它俩速度的平方就和它俩的高度之差成正比，这也没问题。
然后这地方有一个比例因子，但如果你把这两个有一个比例因子未知数，你把它改写成了

这个也没问题，因为说到底还是一个未知数这也没问题。
好，现在你把这样的一个公式把两边移项，结果左边就是  ，右边等于  ，这个公式怎么看？又是一个重要的科学问题。这个公式大家看是什么样的？一两边的公式长的样子一样；第二点，左边只和一个标号一的事件有关系，右边只和二的事件有关系，这说明什么？说明它这样一个表达式和一、和二都有关系。因此这样一个表达式  应该等于常数，这就是从这一步到这一步推导的逻辑的科学方法。
其实也好理解，当有人给你宣称他和你是最好的朋友和那个人他也是最好的朋友的时候，他和你们俩谁都不是最好的朋友。就这么简单，所以这个公式也是这样子，左边只和位置一有关系，右边是和位置二有关系，那么它就和谁都没有关系，于是乎它等于常数。那么这样一个推导方法狄拉克是学会了的，所以说大家看狄拉克推导量子力学对易式和经典力学对易关系的时候，用的就是这个方法一模一样的。这就是所谓的机械能守恒。请大家记住，这个不是推导，这种研究方法叫应该说是构造，就说我构造这样的学问。
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好，那么如果活力这  拿出来，等到我们有相对论的时候，我们把一个具有速度或者具有动量的粒子，它的能量表达成这样的时候，给它做展开，发现一阶近似多出来就是  ，这地方应该有  ，这个意思可以说把动能表示成  而不是  ,和相对论是自洽的，这是一个说法。
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那么当然了，在这之前有不少人，当你把动量对时间的改变当做力和位移运算做功的时候，表示成活力之差的话，那会发现前面应该有  ，这一个  来自于  的积分也行。另外，像法国人 Coriolis 也引入过 1/2，这地方大家请记住，就是说当一个科学的问题必须该有  的话，一定有不同的科学家从不同的角度注意到这个问题。
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而且，Coriolis 也是第一个引入“功”这个词的人，到现在为止你看牛顿力学，我们现在还没学到功。Coriolis 第一个提出了功的一个概念。
（接下篇）

统稿：紫竹与

校对：紫竹与 Meyare 4925 GuluGulu 7号机

编辑：尼洛

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