昨天上午，一直坚持开源的通义千问Qwen团队推出了全新的视觉推理大模型，QVQ-72B-Preview。
作为业界首个开源多模态推理模型，QVQ-72B-Preview在模型视觉理解及推理的MMMU评测中拿到了大学级别的70.3分，
更是在涵盖多样性和更多学科的MathVista测试中获得了超过ChatGPT o1的分数。
什么概念？
也就是说，在目前的AI大模型中，QVQ-72B-Preview的推理能力位居全球首位！连以推理著称的ChatGPT o1 都是它的手下败将。
于是小编突发奇想，既然简单的题目难不倒这员大将，那么我把以难度和计算量著称的2025考研真题投喂给它会发生怎样奇妙的化学反应呢？
而且本着拱火不嫌事大的心理小编将让QVQ-72B-Preview和ChatGPTo1同台竞技，看看这位国产推理大模型新王究竟实力几何。
第一题，极限
正确答案为-1
下面我们来看QVQ-72B-Preview的回答
这个极限题看起来有点复杂，我得一步一步来解决它。题目是求当x趋于0正时，(x^x - 1)/(ln(x) * ln(1 - x))的极限。
首先，我注意到当x接近0正时，x^x会接近1，因为任何数（大于0）的0次方都是1。同时，ln(x)会趋于负无穷，因为x趋于0正，ln(x)是负的且绝对值越来越大。至于ln(1 - x)，当x趋于0时，1 - x接近1，所以ln(1 - x)趋于0，但具体是正还是负呢？因为1 - x > 1当x < 0，但这里x趋于0正，所以1 - x稍微小于1，ln(1 - x)是负数且接近0。
所以，分母ln(x) * ln(1 - x)是负无穷乘以一个负数接近0，这可能需要我更仔细地分析。
首先，我来处理x^x - 1这部分。当x接近0正时，x^x接近1，所以x^x - 1接近0。
接下来是分母ln(x) * ln(1 - x)。ln(x)趋于负无穷，ln(1 - x)趋于负无穷，但是x接近0正时，1 - x接近1，所以ln(1 - x)接近ln(1) = 0，具体来说，ln(1 - x) ≈ -x当x接近0。
所以，分母是ln(x) * (-x)，其中ln(x)趋于负无穷，x趋于0正，所以分母整体趋于0，但因为ln(x)是负的，-x是正的，所以分母是正无穷乘以0，这是一个不定式。
看来直接代入会得到0/0的形式，所以可以考虑使用洛必达法则。洛必达法则说，如果极限形式是0/0或者∞/∞，那么极限等于分子和分母分别求导之后的极限。
不过，这个极限的分母是两个对数的乘积，可能直接用洛必达法则会比较复杂，因为分子和分母都会很复杂。
也许可以尝试将x^x - 1表示成关于x的泰勒展开式，然后看看能否简化这个表达式。
首先，x^x可以写成e^(x * ln(x))，所以x^x - 1 = e^(x * ln(x)) - 1。
当x接近0时，x * ln(x)趋于0，因为ln(x)趋于负无穷，但x趋于0，所以x * ln(x)趋于0。
e^(x * ln(x))可以展开成1 + (x * ln(x)) + (x * ln(x))^2 / 2! + ...，所以x^x - 1 ≈ x * ln(x)。
不过，我得确认一下这个近似是否足够精确。实际上，e^(x * ln(x)) - 1 ≈ x * ln(x)，因为当指数很小的时候，e^x - 1 ≈ x。
所以，x^x - 1 ≈ x * ln(x)，这意味着我可以将分子近似替换为x * ln(x)。
现在，极限变成了lim (x→0+) [x * ln(x)] / [ln(x) * ln(1 - x)]。
这可以简化为lim (x→0+) x / ln(1 - x)。
现在，这个极限看起来更容易处理了。
我再来看看ln(1 - x)，当x接近0时，ln(1 - x) ≈ -x。
所以，ln(1 - x) ≈ -x，这意味着x / ln(1 - x) ≈ x / (-x) = -1。
所以，极限应该是-1。
不过，我得确认一下这个近似的准确性。
或者，我可以更正式地处理这个极限。
考虑lim (x→0+) x / ln(1 - x)。
可以尝试使用洛必达法则，因为当x→0时，ln(1 - x)→0，x→0，所以是0/0的形式。
根据洛必达法则，lim (x→0+) [x]' / [ln(1 - x)]' = lim (x→0+) 1 / (-1/(1 - x)) = lim (x→0+) -(1 - x) = -1。
所以，极限确实是-1。
看来我的近似是正确的。
所以，原极限等于-1。
我们要求的极限是：
\[
\lim_{x \to 0^+} \frac{x^x - 1}{\ln x \ln(1 - x)}
\]
#### **1. 分析 \(x^x\) 的性质**
\(x^x = e^{x \ln x}\)。当 \(x \to 0^+\) 时：
- \(\ln x \to -\infty\)
- \(x \ln x \to 0^+\) （因为 \(\ln x\) 的负无穷比 \(x\) 的趋近速度快）
因此，\(x^x \to 1\)。
我们可以将分子展开为：
\[
x^x - 1 = e^{x \ln x} - 1
\]
利用泰勒展开，\(e^u \approx 1 + u\)（当 \(u \to 0\)），得：
\[
x^x - 1 \approx x \ln x
\]
#### **2. 分母分析**
分母为 \(\ln x \ln(1 - x)\)。当 \(x \to 0^+\) 时：
- \(\ln x \to -\infty\)
- \(\ln(1 - x) \to \ln 1 = 0\)，并用展开式：
\[
\ln(1 - x) \approx -x
\]
所以，分母可以近似为：
\[
\ln x \ln(1 - x) \approx \ln x \cdot (-x) = -x \ln x
\]
#### **3. 极限化简**
原式近似为：
\[
\frac{x^x - 1}{\ln x \ln(1 - x)} \approx \frac{x \ln x}{-x \ln x}
\]
约分后得到：
\[
\lim_{x \to 0^+} \frac{x^x - 1}{\ln x \ln(1 - x)} = -1
\]
这道题是关于概率的，涉及到独立随机事件、条件概率等概念。题目中给出了两个独立随机事件A和B，以及它们的概率关系和并集的概率，要求在至少有一个发生的条件下，A和B中恰有一个发生的概率。
首先，我需要理解题目的意思。题目说A和B是两个独立随机事件，已知P(A) = 2P(B)，P(A ∪ B) = 5/8，求在A和B至少有一个发生的条件下，A和B中恰有一个发生的概率。
我先回忆一下概率的基本公式。对于两个事件A和B，它们的并集的概率是P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)。因为A和B是独立的，所以P(A ∩ B) = P(A)P(B)。
已知P(A) = 2P(B)，设P(B) = x，那么P(A) = 2x。
所以，P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 2x + x - (2x * x) = 3x - 2x^2。
又因为P(A ∪ B) = 5/8，所以有方程：
3x - 2x^2 = 5/8。
我需要解这个方程，求出x的值。
首先，把方程整理一下：
2x^2 - 3x + 5/8 = 0。
为了方便计算，可以两边都乘以8：
16x^2 - 24x + 5 = 0。
现在，我来解这个一元二次方程。使用求根公式：
x = [24 ± √(24^2 - 4165)] / (2*16)
= [24 ± √(576 - 320)] / 32
= [24 ± √256] / 32
= [24 ± 16] / 32
= (24 + 16)/32 = 40/32 = 1.25，或者24 - 16 = 8/32 = 0.25。
因为概率不能大于1，所以P(B) = 0.25，P(A) = 2*0.25 = 0.5。
接下来，要求在A和B至少有一个发生的条件下，A和B中恰有一个发生的概率。
首先，明确一下“至少有一个发生”的条件，也就是在A ∪ B发生的条件下。
然后，“恰有一个发生”意味着A发生B不发生，或者B发生A不发生。
记C为“恰有一个发生”的事件，即C = (A ∩ B') ∪ (A' ∩ B)。
因为A和B独立，所以P(C) = P(A)P(B') + P(A')P(B) = P(A)(1 - P(B)) + (1 - P(A))P(B) = 0.5*(1 - 0.25) + (1 - 0.5)0.25 = 0.50.75 + 0.5*0.25 = 0.375 + 0.125 = 0.5。
但是，这是无条件的概率，我们需要的是在A ∪ B发生的条件下的概率。
根据条件概率的公式，P(C|A ∪ B) = P(C ∩ (A ∪ B))/P(A ∪ B)。
因为C是“恰有一个发生”，A ∪ B是“至少有一个发生”，所以C是A ∪ B的一部分，即C ∩ (A ∪ B) = C。
所以，P(C|A ∪ B) = P(C)/P(A ∪ B) = 0.5 / (5/8) = 0.5 * 8/5 = 4/5 = 0.8。
所以，答案是0.8。
不过，我再检查一下计算过程，确保没有错误。
首先，P(A) = 0.5，P(B) = 0.25。
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 0.5 + 0.25 - 0.5*0.25 = 0.75 - 0.125 = 0.625 = 5/8，符合题意。
C是“恰有一个发生”，P(C) = P(A)P(B') + P(A')P(B) = 0.50.75 + 0.50.25 = 0.375 + 0.125 = 0.5。
然后，P(C|A ∪ B) = P(C)/(P(A ∪ B)) = 0.5 / (5/8) = 0.5 * 8/5 = 0.8。
看起来是对的。
不过，我再想一下，有没有更简单的方法。
其实，因为A和B独立，且我们要在A ∪ B发生的条件下求恰有一个发生的概率。
可以考虑直接计算P(C|A ∪ B)。
因为C是A ∪ B的一部分，所以P(C ∩ (A ∪ B)) = P(C)。
所以，P(C|A ∪ B) = P(C)/P(A ∪ B)。
已经算出P(C) = 0.5，P(A ∪ B) = 5/8 = 0.625，所以0.5 / 0.625 = 0.8。
所以，答案是0.8。
不过，题目要求填写分数，0.8等于4/5，所以最终答案是4/5。
答案
\boxed{\dfrac{4}{5}}
已知条件：
1. \( P(A) = 2P(B) \)
2. \( P(A \cup B) = \frac{5}{8} \)
3. \( A, B \) 独立事件。
目标：求 \( A, B \) 中恰有一个发生的概率。
---
#### **1. 用独立性公式展开联合概率**
根据概率公式：
\[
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
\]
由于 \( A, B \) 独立，\( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \)，因此：
\[
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A) \cdot P(B)
\]
将 \( P(A \cup B) = \frac{5}{8} \) 代入：
\[
\frac{5}{8} = P(A) + P(B) - P(A) \cdot P(B)
\]
---
#### **2. 代入 \( P(A) = 2P(B) \)**
设 \( P(B) = p \)，则 \( P(A) = 2p \)。代入上式：
\[
\frac{5}{8} = 2p + p - 2p \cdot p
\]
化简为：
\[
\frac{5}{8} = 3p - 2p^2
\]
整理为二次方程：
\[
2p^2 - 3p + \frac{5}{8} = 0
\]
---
#### **3. 求解 \( p \)**
将方程两边乘以 8：
\[
16p^2 - 24p + 5 = 0
\]
利用求根公式：
\[
p = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
其中 \( a = 16, b = -24, c = 5 \)，代入得：
\[
p = \frac{24 \pm \sqrt{(-24)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 5}}{2 \cdot 16}
\]
\[
p = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 320}}{32} = \frac{24 \pm \sqrt{256}}{32} = \frac{24 \pm 16}{32}
\]
解得：
\[
p = \frac{40}{32} = \frac{5}{4} \quad \text{(无意义，概率不能大于 1)}，
\]
\[
p = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}.
\]
因此，\( P(B) = \frac{1}{4} \)，\( P(A) = 2P(B) = \frac{1}{2} \)。
---
#### **4. 计算恰有一个事件发生的概率**
恰有一个事件发生的概率为：
\[
P(A \Delta B) = P(A) + P(B) - 2P(A \cap B)
\]
由于 \( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8} \)，则：
\[
P(A \Delta B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - 2 \cdot \frac{1}{8}
\]
化简为：
\[
P(A \Delta B) = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} - \frac{2}{8} = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}.
\]
重根的意思是特征方程里有重复的根，也就是1出现了不止一次。我需要先理解一下这个概念。
首先，特征值是满足方程 det(A - λI) = 0 的λ，其中I是单位矩阵。如果1是重根，那也就是说这个方程里1出现了两次，也就是二重特征值。
我的目标是：
求出a的值，使得1是A的二重特征值。
找到非零向量α和β，满足给定的两个等式。
先来解决第一个问题，求a的值。
首先，我需要写出矩阵A的特征多项式，也就是 det(A - λI)。
矩阵A是：
A = [0, -1, 2;
-1, 0, 2;
-1, -1, a]
所以，A - λI = [ -λ, -1, 2;
-1, -λ, 2;
-1, -1, a - λ]
我需要计算这个矩阵的行列式等于零，也就是 det(A - λI) = 0。
我来计算一下这个行列式。
首先，展开第一行：
det = (-λ) * [(-λ)(a - λ) - (-1)(2)] - (-1)[(-1)(a - λ) - 2(2)] + 2*[(-1)(-1) - (-λ)(2)]
化简一下：
det = (-λ)(-λ(a - λ) + 2) + ( -(-λ(a - λ) - 4) ) + 2(1 + 2λ)
展开：
det = λ²(a - λ) - 2λ + λ(a - λ) + 4 + 2 + 4λ
等一下，我可能算错了。
让我再仔细算一下。
det(A - λI) = (-λ)[(-λ)(a - λ) - (-2)] - (-1)[(-1)(a - λ) - 22] + 2[-1(-1) - (-λ)(-1)]
先算每个2x2子矩阵的行列式。
第一项：(-λ)[(-λ)(a - λ) - (-2)] = (-λ)[λ(a - λ) + 2]
第二项：-1*[(-1)(a - λ) - 4] = -1*(-a + λ - 4) = a - λ + 4
第三项：2*[1 - λ] = 2 - 2λ
所以，det(A - λI) = (-λ)(λ(a - λ) + 2) + (a - λ + 4) + (2 - 2λ)
展开第一项：-λλ(a - λ) - λ2 = -λ³(a - λ) - 2λ
所以，整个行列式是：
-λ³(a - λ) - 2λ + a - λ + 4 + 2 - 2λ
等一下，-λ³(a - λ)应该是-λ³a + λ⁴
不对，我可能搞错了。
让我重新计算 det(A - λI):
A - λI = [ -λ, -1, 2;
-1, -λ, 2;
-1, -1, a - λ]
我选择第三行展开，可能更简单。
det = (-1)[(-λ)(a - λ) - (-2)] - (-1)[(-1)(a - λ) - 2*2] + (a - λ)[(-1)(-λ) - (-2)]
先算每个2x2子矩阵的行列式。
第一项：(-λ)(a - λ) - (-2) = -λ(a - λ) + 2
第二项：(-1)(a - λ) - 4 = -a + λ - 4
第三项：1*λ - (-2) = λ + 2
所以，det = -[-λ(a - λ) + 2] + [ -a + λ - 4] + (a - λ)(λ + 2)
化简：
det = λ(a - λ) - 2 - a + λ - 4 + (a - λ)(λ + 2)
展开：
λa - λ² - 2 - a + λ - 4 + aλ + 2a - λ² - 2λ
合并同类项：
λa + aλ + 2a - a - 2λ + λ - λ² - λ² - 2 - 4
= 2λa + a - 2λ + λ - 2λ² - 2 - 4
等一下，λa + aλ = 2aλ，因为λ是标量，可以交换。
然后，-λ² - λ² = -2λ²
常数项：-2 - 4 = -6
所以，det = 2aλ + a - 2λ + λ - 2λ² - 6
再合并同类项：
-2λ² + (2a - 2 + 1)λ + (a - 6)
= -2λ² + (2a - 1)λ + (a - 6)
所以，特征多项式是 -2λ² + (2a - 1)λ + (a - 6)
但是，我感觉这个计算可能有问题，因为展开的结果和我之前想的不太一样。可能我哪里算错了。
已知条件：
1. \( P(A) = 2P(B) \)
2. \( P(A \cup B) = \frac{5}{8} \)
3. \( A, B \) 独立事件。
目标：求 \( A, B \) 中恰有一个发生的概率。
---
#### **1. 用独立性公式展开联合概率**
根据概率公式：
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
\]
由于 \( A, B \) 独立，\( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \)，因此：
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A) \cdot P(B)
\]
将 \( P(A \cup B) = \frac{5}{8} \) 代入：
\[\frac{5}{8} = P(A) + P(B) - P(A) \cdot P(B)
\]
---
#### **2. 代入 \( P(A) = 2P(B) \)**
设 \( P(B) = p \)，则 \( P(A) = 2p \)。代入上式：
\[\frac{5}{8} = 2p + p - 2p \cdot p
\]
化简为：
\[\frac{5}{8} = 3p - 2p^2
\]
整理为二次方程：
\[2p^2 - 3p + \frac{5}{8} = 0
\]
---
#### **3. 求解 \( p \)**
将方程两边乘以 8：
\[16p^2 - 24p + 5 = 0
\]
利用求根公式：
\[p = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
其中 \( a = 16, b = -24, c = 5 \)，代入得：
\[p = \frac{24 \pm \sqrt{(-24)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 5}}{2 \cdot 16}
\]
\[p = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 320}}{32} = \frac{24 \pm \sqrt{256}}{32} = \frac{24 \pm 16}{32}
\]
解得：
\[p = \frac{40}{32} = \frac{5}{4} \quad \text{(无意义，概率不能大于 1)}，
\]
\[p = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}.
\]
因此，\( P(B) = \frac{1}{4} \)，\( P(A) = 2P(B) = \frac{1}{2} \)。
---
#### **4. 计算恰有一个事件发生的概率**
恰有一个事件发生的概率为：
\[P(A \Delta B) = P(A) + P(B) - 2P(A \cap B)
\]
由于 \( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8} \)，则：
\[P(A \Delta B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - 2 \cdot \frac{1}{8}
\]
化简为：
\[P(A \Delta B) = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} - \frac{2}{8} = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}.
\]
---
### 最终答案：
\[\boxed{\frac{1}{2}}
\]
几米:
### 解题步骤
我们解答题目所涉及的两个部分：
#### **(1) 求 \(a\) 的值**
已知矩阵 \(A\) 为：
\[A = \begin{pmatrix}
0 & -1 & 2 \\
-1 & 0 & 2 \\
-1 & -1 & a
\end{pmatrix}
\]
并且特征值 1 是 \(A\) 的特征多项式的重根。
**步骤：**
1. 矩阵 \(A\) 的特征多项式为：
\[ p(\lambda) = \det(\lambda I - A)
\]
展开特征多项式，将矩阵 \(\lambda I - A\) 写出并计算行列式。
2. 因为特征值 1 是重根，这意味着特征多项式在 \(\lambda = 1\) 处至少有一个二次重根，即：
\[ p(1) = 0, \quad p'(1) = 0
\]
通过这些条件，解出 \(a\) 的值。
---
#### **(2) 求非零向量 \(\alpha, \beta\)**
已知：
\[A \alpha = \alpha + \beta, \quad A^2 \alpha = \alpha + 2 \beta
\]
**步骤：**
1. 将 \(A^2\) 展开为 \(A \cdot A\)，结合 \(A \alpha = \alpha + \beta\)，代入关系式：
\[ A^2 \alpha = A(A \alpha) = A(\alpha + \beta)
\]
推导出 \(\beta\) 的关系。
2. 解方程组，找到满足条件的非零向量 \(\alpha, \beta\)。
---
**详细计算部分**涉及行列式展开和特征值分析等复杂运算，我将通过代数工具进行计算，确保准确性。
几米:
特征多项式为：
\[p(\lambda) = \lambda^3 - a\lambda^2 + 3\lambda + a - 4
\]
对于特征值 \(\lambda = 1\)，满足以下条件：
1. \(p(1) = 0\)
2. \(p'(1) = 0\)
通过计算得：
1. \(p(1) = 0\) 已自动满足。
2. \(p'(1) = 6 - 2a = 0\)，解得 \(a = 3\)。
因此，矩阵 \(A\) 中 \(a = 3\)。
接下来我们处理第二部分，求非零向量 \(\alpha, \beta\)。
几米:
根据条件：
1. \[ A\alpha = \alpha + \beta \] 给出方程：
\[ \begin{aligned}
-\alpha_1 - \alpha_2 + 2\alpha_3 - \beta_1 &= 0, \\
-\alpha_1 - \alpha_2 + 2\alpha_3 - \beta_2 &= 0, \\
-\alpha_1 - \alpha_2 + 2\alpha_3 - \beta_3 &= 0.
\end{aligned}
\]
2. \[ A^2\alpha = \alpha + 2\beta \] 给出方程：
\[ \begin{aligned}
-2\alpha_1 - 2\alpha_2 + 4\alpha_3 - 2\beta_1 &= 0, \\
-2\alpha_1 - 2\alpha_2 + 4\alpha_3 - 2\beta_2 &= 0, \\
-2\alpha_1 - 2\alpha_2 + 4\alpha_3 - 2\beta_3 &= 0.
\end{aligned}
\]
这些方程表明：
- \(\beta_1 = \beta_2 = \beta_3 = -\alpha_1 - \alpha_2 + 2\alpha_3\)，
- 我们接下来确定向量 \(\alpha, \beta\) 的具体形式。