俄国大文豪列夫·托尔斯泰是一位数学爱好者,他在写作时有时喜欢将数学问题融入文学创作中。他曾在写过的一篇题为《一个人需要多少土地》的小说中,出现了一道有趣的数学问题。这篇小说的主人公名叫帕霍姆,他遇到了一个奇特的卖地人:此人规定,无论是谁,只要上交1000卢布,就可以在草原上从日出走到太阳落山,只要在天黑以前回到出发点,他走过的路线所围起来的土地就都属于他。但是,如果没有回到出发点,那么他一点儿土地也得不到,1000卢布也就打了水漂。这一天,帕霍姆也来买地了,他在交了1000卢布后,天一亮就开始大步行走。他先沿着一条直线走了10俄里(1俄里大约等于1.0668千米),然后垂直左转,又走了相当长的一段距离,再次垂直左转,走了2俄里。这是他发现天色已经不早了,于是向着起点狂奔,跑了15俄里之后,他终于赶在日落时分回到了起点。但是,此时的帕霍姆却双腿一软,栽倒在地,口吐鲜血,一命呜呼了。这篇小说里出现的几何数学问题其实并不太难,如果帕霍姆从A点出发,那么他走过的路线构成了一个上底是2俄里,下底是10俄里,斜腰是15俄里的直角梯形(如下图)。如果同学们学过了初中的数学,掌握了勾股定理的有关知识后,是不难求出这个梯形的周长和面积的。由于勾股定理的结论是:在任意一个直角三角形中,一条斜边的平方等于两条直角边的平方和。根据这样的知识,我们不难求出上面这个梯形的高DE的长度,即:DE长度的平方是15×15-8×8=225-64=161(平方俄里),所以,DE=≈12.69(俄里),这里平方根的负值不合题意,舍去。借助于计算器的帮助,我们也就很容易求出帕霍姆跑出的直角梯形的周长和面积,即:这个直角梯形的周长是:10+12.69+2+15=39.69(俄里)。大约是39.69×1.0668≈42.34(千米)。面积是:由于上底是2×1.0688=2.1336(千米),下底是10×1.0668=10.668(千米),高是12.69×1.0668=≈13.538(千米),所以,这个直角梯形的面积是:(2.1336+10.668)×13.538÷2≈86.654(平方千米)。有趣的是,当我们计算出这个直角梯形的周长,就会得到39.69俄里的结果,长度约为42千米,这与马拉松赛跑的路程42.195千米大致相等!对于这个数学问题,我们还可以进行一些延伸思考:如果帕霍姆不跑直角梯形,而是采取别的什么路线,跑同样长的路程,围成图形的面积有多大?我们可以这样思考:因为在周长相等的平面图形中,圆的面积最大。因此,当圆的周长是39.69俄里,即42.34千米时,圆的直径是:
42.34÷π≈42.34÷3.14=13.484(千米),
圆的半径是:
13.484÷2=6.742(千米),
这时圆的面积就是:
π×6.742×6.742=3.14×6.742×6.742≈142.727(平方千米)。
也就是说:帕霍姆如果跑的是圆形路线,可以圈出142.727平方千米的土地,这比他跑的直角梯形的土地大了许多!当然,我们还可以作进一步思考:如果帕霍姆不跑直角梯形,而是跑别的图形,应该至少跑多少路程,就能够得到同样大的面积?对于这个数学问题,同学们在学过了初中数学知识后,就能够得出正确答案了,即先求出面积是86.654平方千米的圆的半径的平方是86.654÷π≈27.5968(平方千米),因此圆的半径是:≈5.255(千米),所以,这个圆的周长是:2π×5.255=33.0014(千米)≈33(千米)。就是说结论是:如果帕霍姆走的路线是一个圆形,那么他圈住86.654平方千米左右的土地,只要走大约33千米的路程,他可能就不会被累死了。托尔斯泰在小说中巧妙地利用这道数学问题,对主人公帕霍姆的贪婪而愚蠢的本性进行了绝妙的讽刺,并让读者感受到了一丝悲剧的味道,给了读者很大的启发。