笛卡儿在数学上做出的贡献堪为“人类有史以来在精确科学上迈出的最伟大的一步”。
在科学领域，文艺复兴见证了天文学中由哥白尼和开普勒开创，并由伽利略发展的日心说理论走向兴盛。
伽利略利用望远镜观察到的结果孕育了对宇宙的新见解，而他的力学实验也展现了非凡的洞察力。与其他因素相比，这才是此后几个世纪里，数学取得极大发展的最关键的动力。
当亚里士多德哲学体系发出即将崩溃的第一个信号时，在与教会神学意识形态做斗争的过程中，哲学家们已经开始着手研究构建人类知识大厦的新地基了。数学似乎是真理确定无疑的表现形式，它为新的开端提供了最完美、最坚实的基础。
在这样一个伟大的历史转折中，有一个人试图找出一种能指导所有理性思考的固定模式，将人类所有的知识、科学成就，乃至人类社会伦理统一为一个整体。他就是法国年轻的政府官员勒内·笛卡儿。
很多人都认为，在近代所有伟大的哲学家之中，笛卡儿可以当之无愧地排名第一，同时，他也是第一位真正意义上的生物学家。除了这些功勋赫赫的标签，英国经验主义哲学家约翰·斯图亚特·密尔（John Stuart Mill，1806-1873）甚至将笛卡儿在数学上做出的贡献描述为“人类有史以来在精确科学上迈出的最伟大的一步”。现在，你或许能理解笛卡儿的才能和智慧为什么令后世敬仰了。笛卡儿于1596年3月31日出生于法国拉海镇（La Haye）。为了纪念这位著名的数学家，这座小镇在 1801 年被改名为拉海–笛卡儿镇，1967 年之后，人们更习惯称之为笛卡儿镇。1604年，笛卡儿在年仅8岁时被送进了拉弗莱什教会学院学习拉丁文、数学、文学、科学和经院哲学，他在那里一直学习到了1612年。由于笛卡儿自幼体弱，不能过多地运动，因而被特许不用遵守学院严格的作息时间。他不必每天早晨5点起床，可以在床上度过整个早晨的时光。后来，每天利用清晨的时间进行思考的习惯伴随了笛卡儿一生。有一次，他对朋友、法国数学家布莱兹·帕斯卡讲到，对他来说，保持身体健康并取得丰硕成果的秘诀就是每天早上睡到自然醒。然而，正如我们之后看到的，这句话竟然一语成谶，成了笛卡儿命运的一个悲剧性预言。在离开拉弗莱什教会学院之后，笛卡儿又进入了法国普瓦提埃学院学习，并最终以律师的身份毕业。但很明显，他从来没有真正从事过任何法律方面的工作。出于浮躁不安的心态和对外面世界的向往，笛卡儿决定加入奥兰治亲王莫里斯的军队，当时他们驻扎在荷兰共和国（荷兰的前身）的布雷达。笛卡儿在布雷达服役期间，发生了一件小事，这个偶然事件成为笛卡儿思想发展过程中的一个标志，具有深远的意义。传说有一天，笛卡儿在大街上闲逛，突然看到路边立着一块牌子，上面写着一道数学问题，正在征集解决方法。笛卡儿请一位经过的路人把这个问题从荷兰语翻译为拉丁语或法语。几个小时之后，笛卡儿就成功地解决了这个问题，这让他真正认识到了自己在数学方面的天赋。而那位为笛卡尔翻译问题的路人不是别人，正是荷兰数学家和科学家艾萨克·比克曼（Isaac Beeckman，1588-1637），他对笛卡儿物理数学研究的影响持续了数年之久。在随后的9年里，笛卡儿要么在混乱的巴黎逗留，要么在各个军队中服役。当时的欧洲正在“三十年战争”（1618-1648 年）的痛苦中挣扎，战火四起、处处烽烟，不同宗教派别和政治派系之间纷争不休，从布拉格、德国直至特兰西瓦尼亚（今罗马尼亚西北部）到处都有战争。对于年轻的笛卡儿而言，想要打一仗或加入军队是十分容易的事。尽管如此，在这段时期，他仍然利用战斗的间隙学习数学，正如他后来所说的：“全身心地沉溺于数学学习中。”1619年11月10日，笛卡儿做了三个梦。这些梦不仅对笛卡儿今后的生活产生了深远的影响，而且，或许也标志着现代文明的开端。在描述这一事件时，笛卡儿在自己的笔记中写道：“我激动万分，并从中发现了一门绝妙科学的基础。”这是怎样的三个影响深远的梦呢？在第一个梦里，笛卡儿发现自己被狂暴的旋风卷向了空中，风的巨大力量使他不由自主地以左脚为轴快速旋转。与此同时，他随时会从空中摔下来，这让他感到无比恐惧。这时一位老人出现了，递给他一个国外出产的甜瓜。第二个梦也是一幅十分恐怖的画面，他被抓进了一个阴森森的房间，房间里不时响起霹雳一般巨大的声音，在他身体周围不断有到处飞溅的火花。第三个梦与前两个梦形成了鲜明的对比，呈现在笛卡儿面前的是一幅祥和静穆的画面，当他四处环顾时，发现房间里有一张桌子，桌子上有书时隐时现。这些书包括一部名为《诗人集成》（Corpus Poetarum）的诗歌选集和一部百科全书。他随手打开了那本诗歌选集翻到了其中一页，一眼看到的正是公元4世纪罗马诗人奥索尼乌斯（Ausonius）的一首诗。诗中写道：“我的生命应当走什么样的道路？（Quod vitae sectabor iter）”此时，一个神秘的人从空气中闪现了出来，他引用了另一句诗：“是又不是。（Est et non.）”笛卡儿想给他看看奥索尼乌斯的诗歌，但整本书却消失在了虚空中。一般情况下，梦境总是似是而非、颠三倒四的，梦的意义并不在于其具体的内容，而在于做梦的人对它的解释。笛卡儿对这三个神秘的梦的解释产生了令人震惊的影响。他认为，百科全书代表了科学知识的集合，诗集则代表了哲学、启示和热情。“是又不是”就是著名的毕达哥拉斯对立，笛卡儿认为，这代表了真理和虚妄。笛卡儿绝对确信，这三个梦表明人类的所有知识在理性思想的帮助下可以统一为一体。1621年，笛卡儿退役了。在随后的5年里，他继续四处游历。在旅途中，笛卡儿也没有放弃研究数学。在这段时间里，所有见过笛卡儿的人，包括当年具有巨大影响力的精神领袖红衣主教皮埃尔·德·贝鲁尔（Pierre de Bérulle，1575-1629）都被笛卡儿深刻的见解和清晰的思路深深打动，并为之叹服。很多人都鼓励笛卡儿继续他的研究，并将他的思想写下来公开出版。对于一个年轻人来说，这种富于智慧的关爱和建议可能会适得其反，就像在电影《毕业生》中对达斯汀·霍夫曼所扮演的角色所说的那句忠告：“塑造自己！”但是笛卡儿不同。他已经把自己的目标定为研究真理，因此他很容易就被说服了。最后，笛卡儿移居荷兰，当时，那里似乎能提供一个更安静的思考环境。在随后的20年里，他写出了一本又一本不朽的著作。1637年，笛卡儿出版了第一本关于科学基础思考的杰作《谈谈方法》。这本著作还有三个值得着重关注的附录，分别关于光学、气象学和几何学。紧接着，笛卡儿在1641年出版了一本哲学方面的著作《第一哲学沉思集》，1644年又出版了一本物理学专著《哲学原理》。在出版这几本书以后，笛卡儿的大名传遍整个欧洲，在他的仰慕者和有书信往来的人中，还包括已经被放逐的波希米亚公主伊丽莎白（1618-1680）。1649年，笛卡儿被邀请访问瑞典，教授瑞典女王克里斯蒂娜（1626-1689）哲学。出于对王室成员的尊敬，笛卡儿接受了邀请。那位年仅23岁有着钢铁般意志的瑞典女王坚持要求笛卡儿在早晨5点这个极不适宜的时间给她上课。在北欧这片土地上，清晨实在太过寒冷了。笛卡儿在给朋友的信中写到，在这里甚至连思维也被冻僵了。后来事实证明，这种寒冷对他是致命的。他说：“我在这里不得其所，很不自在。我只想要宁静和沉思。如果一个人自己不能获得宁静，即使是地球上最有权势的国王也不能赐予他。”在勇敢地面对瑞典长达数月的严酷寒冬和黑暗的早晨之后（对于笛卡儿来说，这样的清晨是他一生都在努力回避的噩梦），笛卡儿最终患上了急性肺炎。1650年2月11日，就好像试图避开再次被叫醒一样，笛卡儿在凌晨4点钟去世了，享年54岁。这位开辟了现代文明的人，成了一位年轻女王任性的牺牲品。
笛卡儿被安葬在了瑞典。1667年，他的遗骸（或者说，至少是他遗骸的一部分）被运回了法国。在那里，笛卡儿的遗骸又被多次转移，一直到1819年2月26日才最终埋葬在圣日耳曼·德佩教堂（Saint Germain des Prés）的一所附属小礼拜堂内。据说，笛卡儿的一块头盖骨从瑞典流出后，经过了数人之手，最后被化学家伯齐得乌斯（Berzelius）购得，并带回了法国。这块头盖骨现存放在法国巴黎人类博物馆的自然科学馆中，经常呈现在穴居人头盖骨的对面。笛卡尔创立的解析几何被称为数学史上的伟大转折。后世的数学家和数学史学家都把笛卡尔的《几何学》作为解析几何的起点。从笛卡尔的《几何学》中可以看出，笛卡尔的中心思想是建立起一种“普遍”的数学，把算术、代数、几何统一起来。他设想，把任何数学问题化为一个代数问题，再把任何代数问题归结到去解一个方程式。