摘要：本文将从常微分方程求解的视角，来分析自然常数 在其中发挥的重要作用。一个值介于2和3之间的常数 ，为何能称为自然常数？由于它在一定意义上刻画了自然界中普遍存在的变化规律，我们要到常微分方程中揭开它的神秘面纱。
一、自然界中无处不在的
只要我们一搜罗，就不难发现在自然界的很多现象中都能看到自然常数 的影子。似乎只要涉及生长、繁衍、演化等连续的运动与发展，自然数就会出现。
生物的繁殖，种群的增长
放射性原子的衰变
大自然中无处不在的等角螺线
飞蛾扑火的轨迹、向日葵籽的排列
鹦鹉螺的外壳切面
热带低气压的外观
漩涡星系的旋臂
……
具体以鹦鹉螺的外壳切面是一个等角螺线为例。在极坐标系下，等角螺线的方程是 ，其对应的微分方程是 。也就是说，螺线的半径随着角度的增大而增大，且增长率是与半径成正比例的。事实上，正如大自然中的很多生物一样，鹦鹉螺的体积越大，新增体积也就越大，所以需要按照等角螺线设计的外壳来容下它们的躯体。
类似地，理想环境下的种群数量变化也是如此，种群数量越大，种群的增长速度也就越快，种群数量的变化率是和当前种群数量 相关的，可以简述为 。
二、为什么 这么“自然”
既然自然界中有很多的现象都符合上述微分方程所表示的变化规律，即某一个量的变化速度与它本身的值成比例。那么面对这样很简单的变量关系所对应的常微分方程，我们能否求解？假设此时我们并不知道 的解，从初等函数中的指数函数 出发，希望能找到满足微分方程 的函数 。根据导数的定义我们可以进行如下计算：
要使得 则需要 反推出希望
而这就是我们现在关于自然常数 的定义。所以自然常数 就是这个天选之子，以它为底的指数函数 巧妙地满足“导函数等于其本身”的性质。对应到现实世界中，就刻画了某个量的变化率与自身成比例的变化规律。
三、历史上关于 的由来
最后，我们聊聊 在历史上是怎么被发现的。据说在1683年，瑞士数学家雅各布·伯努利（1654-1705年）在研究复利时发现了一个有趣的现象。如果我们在银行存入1万元，年利率是100%，如果每半年结算一次，半年利率是50%。由此可得，第一种投资方法下获得本息2万元，而第二种投资方法下获得本息2.25万元。以此类推，如果利息结算周期越短，似乎收益就会越高。以每月结算一次，利率是 为例，则收益将近2.61304万元。接着我们考虑极端情况，当结算周期无限缩短时，复利收益会是多少呢？用数学公式来看，就是下面这个极限式的值。（其中 代表计息周期的次数， 是每个计息周期的利率） 当时伯努利并没有计算出这个数的精确值，只知道它介于2和3之间。