科学阶梯 | 数学也可以这么美，15张图走进不一样的数学

北京科协

2024-11-15 19:00发布于北京北京市科学技术协会官方账号

「编者按 」

从哥白尼颠覆性的《天体运行论》，到牛顿革命性的《自然哲学之数学原理》，再到达尔文开创性的《物种起源》……一部部科学经典著作，犹如人类文明史上璀璨的里程碑，承载着科学家的卓越洞察与不懈追求，奠定了现代科学基石，铺就了人类进步的阶梯，引领我们迈向更加广阔的知识天地。

为让更多读者感受科学魅力，北京市科学技术协会推出“科学阶梯”专栏，对科学经典著作进行深入诠释。欢迎您加入这场跨越时空的科学对话，重温科学史上令人惊叹的时刻，一同领略科学之美，感悟智慧之光。

本期我们带来《美妙的数学》一书，让我们一起感受数学中的趣、秘、异、美、古老、严谨、实用。

在许多人的眼中，数学似乎只是那些令人头疼的公式运算和繁琐的逻辑推理。然而，数学远不止于此，它隐藏着一种独特的美感，等待我们去发现和欣赏。

当我们透过公式和定理的表象，深入探究其背后的结构和规律时，会发现数学世界中蕴含着令人惊叹的对称、和谐和美丽。

荷兰画家梵高的后期作品里，可以发现一些漩涡式的团。据《泰晤士报》报道，墨西哥物理学家乔斯·阿拉贡经过研究发现，这些漩涡与科学家用来描述湍流现象的数学公式不谋而合

或许，当你看完这些图之后，会对数学产生一种全新的理解和热爱，发现它不仅是求解问题的工具，更是欣赏世界的另一种方式。

“黄金数”——几何学中的瑰宝

巴特农神庙，神庙的长与高之比约为0.618

0.618被达·芬奇称为“黄金数”，而“黄金分割”则被天文学家开普勒赞为几何学中的两大瑰宝之一（另一件瑰宝是毕达哥拉斯定理，即勾股定理）。

顾名思义，黄金数被赋予黄金一样的熠熠光彩和不菲价值，受到了人们广泛的欢迎。

事实上，黄金分割（比）一直统治着古代中东地区和中世纪时期的西方建筑艺术，无论是古埃及的金字塔，还是古雅典的巴特农神庙；无论是印度的泰姬陵，还是巴黎的埃菲尔铁塔，这些世人瞩目的建筑都是运用黄金分割比例原理创作的伟大艺术品。

—些珍贵的名画佳作、艺术珍品也处处体现了黄金分割（比）——它们的主题大都在作品的黄金分割点处（对于绘画、雕塑、建筑等艺术来讲，主题中的0.618有时表现在横向，有时表现在纵向。只要你肯仔细寻觅，便不难发现这个事实）。

在米勒的名画《拾穗者》中，人们发现其构图中运用了黄金分割

对于某些音乐、电影、文学作品，其中乐章、故事、情节的高潮往往在全曲、全剧、全书的0.618前后。

更有趣的是，人体中有着许多黄金分割的例子，比如：人的肚脐是人体全长的黄金分割点，而膝盖又是人体肚脐以下部分体长的黄金分割点，甚至有人竟以此标准去衡量一个人的体形是否标准或健美。

达·芬奇在《维特鲁威人》这幅画中，把人体与几何中最完美而又简单的图形（圆和正方形）联系到了一起，图中还蕴涵着黄金分割（比）。

达·芬奇《维特鲁威人》，人的身高是按0.618所画，其他部位也按特定比例标准绘制，比如双手展开的宽度等于身高

美和对称紧密相连

对称概念最初源于几何，如今它的含义已远远超出几何范畴。对称也是一种和谐美，毕达哥拉斯、柏拉图所认为的宇宙结构最简单的基元——正多面体是对称的；他们喜欢的图案五角星也是对称的；圆是最简单的封闭曲线，也是一种最完美的对称图形。

德国著名数学家魏尔斯特拉斯说“美和对称紧密相连”，从建筑物外形到日常生活用品，从动植物外貌到生物有机体的构造，从化合物的组成到分子晶体的排布……其中皆有对称。

北京天坛的建筑呈现对称结构

古希腊人十分留意各种对称现象，以致他们竟创立一种学说，认为世界一切的规律都是从对称来的。他们觉得最对称的东西是圆，所以他们把天文学中的天体运动轨道画成圆的，后来圆上加圆，就发展成为希腊后来的天文学。

开普勒研究天体运行时，再一次用上对称观点。他同时发现，用圆上加圆对天体运行规律解释时并不可行，但是将圆换成椭圆就可以了。

倒影看上去是一种最生动的对称

20世纪研究发现：对称的重要性在与日俱增，这从某个方面也说明了希腊人想法的合理性。

在动力学问题中，按照对称观点来考虑可以得到许多重要结论。例如一个氢原子中，一个电子圆形轨道是原子核作用在电子上库仑力的对称结果和证据。这里对称意味着在所有方向上力的大小都一样。

在中国，对联是一种国粹，雅称“楹联”，其文字简洁，意义深邃，对仗工整、平仄协调，堪称中华民族的文化瑰宝。从文字个数和寓意上看，对联也是一种对称。

“圆”是最美的图形

诗人但丁曾赞美道：“圆是最美的图形。”从古至今，人们对圆有着特殊亲切的情感。古钱币、徽章、某些图案设计中，皆可找到圆。这在某种程度上是基于圆的完美与简洁，其实圆也是一个最完美的对称（轴对称和中心对称）图形。

蜘蛛网上的水滴

数学家对于简洁的追求永无止境。正如牛顿所说：“数学家更容易接受漂亮的结果，不喜欢丑陋的结论，而且他们也非常推崇优美与雅致的证明，不喜欢笨拙与繁复的推理。”

与圆有关的图形还有很多，比如圆锥、圆柱、球……与圆有关的数学命题，更是不胜枚举。

古希腊学者阿基米德死于进攻西西里岛的罗马士兵之手。人们为纪念他，便在其墓碑上刻上“球内切于圆柱”的图形，以纪念他发现“球的体积和表面积均为其外切圆柱体积和表面积的三分之二”这一定理。

传说阿基米德正在全神贯注地画几何图，一名罗马士兵闯了进来，阿基米德疾声喝道“别动我的圆！”士兵用利剑刺杀了阿基米德

把一些重要或知名的数字写成一个圆的螺线形（且由大到小螺旋式顺时针描绘），这种图形常会是令人赏心悦目的。

1994年，由一些破译密码志愿者组成的小组成功破译了一个有128位数字的密码。密码破译后译为："The magic words are squeamish ossifrage"（意为“魔术的语言是易受惊吓的髭兀鹰”）。

分形——怪异曲线的数学分支

微积分发明之后，数学家们为了某种目的而臆造的曲线，长期以来一直视为数学中的“怪胎”（从和谐与否角度看），如构造连续但不可微函数、周长无穷所围面积为零的曲线等。

然而这一切却被慧眼识金的数学家视为珍宝，从某些角度考虑它们又真的被看成数学中的“美”。人们将它们经过加工、提炼、抽象、概括而创立了一门新的数学分支——分形。

分形几何是美籍法国数学家芒德布罗在20世纪70年代创立的一门数学新分支，它研究的是广泛存在于自然界和人类社会中一类没有特征尺度却有着相似结构的复杂形状和现象。

它与欧氏几何不同。欧氏几何是关于直觉空间形体关系分析的一门学科，研究的是直线、圆、正方体等规则的几何形体，这些形体都是人为的。但是，“云彩不是球体、山岭不是锥体、海岸线不是圆周”。

分形图示例

20世纪60年代，英国《科学》杂志刊载芒徳布罗的文章《英国海岸线有多长？》。这个看似不是问题的问题，仔细回味后却会令人大吃一惊：除了能给岀如何估算的方法性描述外却没有肯定的答案——海岸线长会随着度量标度（或步长）的变化而变化。

人们在测量海岸线长时（注意它是一条不规则曲线），总是先假定一个标度，然后用它沿海岸线步测一周得到一个多边形，其周长可视为海岸线的近似值。显然由于标度选取的不同，海岸线长的数值不一，且标度越细密，海岸线数值越大。

确切地讲，当标度趋向于0时，海岸线长并不趋向于某个确定的值，而会变得无穷大（无穷不是数，而是一个极限过程）。

海岸线测量示意图

许多相关的分形会产生令人感兴趣的图形，美国著名物理学家惠勒说：“可以相信，明天谁不熟悉分形，谁就不能被认为是科学上的文化人！”

用有限来填满无限

数学中“用有限来填满无限”是一个有趣的话题。20世纪70年代，英国物理学家（也是有时把数学作为娱乐消遣的数学家）彭罗斯开始有兴趣研究在同一张平面上用不同的瓷砖铺设的问题。

1974年，当他发表结果时，人们都大吃一惊。文中他确定了三类瓷砖（下称彭罗斯瓷砖），第一类两种分别为风筝形和镖形，它们是由同一个菱形剪出的；第二类是由边长相同、胖瘦不一的两种菱形组成的（有趣的是它们的面积比恰为0.618）；第三类则由正五边形、菱形、五角星形、黄冠形四种图形组成。

这种瓷砖的奇妙之处在于：用它们中的每一类皆可无重叠又无缝隙地铺满平面，同时铺设结构不具“平移对称性”，也就是说，从整体上看图形不重复。

更为奇妙的是，利用彭罗斯瓷砖进行铺砌时，还可从铺砌的图形中找出上述瓷砖自身的放大“克隆”。

奇妙的莫比乌斯带

一张纸，一块布，你可以根据它们的形状区分它的正面和反面，可现实生活中是否存在没有正反面的曲面？

把一条长的矩形纸带扭转180°后，再把两端粘起来，这就成了仅有一个侧面的曲面（无正反面），它被人们称为莫比乌斯带，由德国数学、天文学家莫比乌斯在1858年发现。

莫比乌斯带的形成图示：矩形带扭转180°，两端粘起来，得到莫比乌斯带

莫比乌斯带的出现，使人们对于正、反面概念有了新的认识。从另外的角度看，这种曲面是一条永远走不到尽头的（有限）曲面。

一支笔沿莫比乌斯带表面移动（不离开曲面），不久它又回到起点。

模仿莫比乌斯带而设计的儿童游戏设施

一只蚂蚁可以爬过莫比乌斯带的整个曲面而不必跨越它的边缘，这是拓扑学中的一个著名问题。

数学中1+2+3+……是一种无穷（无穷大），它没有上界。而莫比乌斯环这种“永远不到头”显然也体现一种无穷。难怪有人认为，数学符号∞（无穷大）正是莫比乌斯带在平面上的投影。

科学经典推荐

美妙的数学

吴振奎著

北京大学出版社

《美妙的数学》以数学实例揭示数学潜在的规律，同时探索用美学原理指导数学创造和发现的途径。书中配以200余幅插图、丰富的小贴士和名人语录，全面展现数学的丰富文化及其与我们日常生活的关系，引导人们欣赏数学的趣、秘、异、美，发现数学的古老、严谨、实用。

来源：“北京大学出版社”公众号

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