第二优美的数学公式

这是一个简单到小学生都能很快理解，又深刻到衍生出新的数学分支的公式。它的意义深远，甚至连它的发现者欧拉都未曾料到。

它就是被称为第二优美的数学公式——欧拉多面体公式：V-E+F=2。

它表示多面体的顶点数、棱数和面数存在一个简明的数量关系。

我们可以拿一些多面体来验证它。

它如此简单，以至于欧拉发现它时，惊讶于从古希腊开始，两千年来，无数伟大的数学家们，竟然都错过了它。

1750年，身处柏林的欧拉给在圣彼得堡的好友哥德巴赫写信，说自己发现多面体不同面之间的交线，一直没有明确的名字，于是就将其命名为“棱”。没想到这一小小的举措，却成为后来一个宏大理论的第一块基石。

他接下来又阐明了自己的发现：一个顶点数为V、棱数为E、面数为F的多面体满足V-E+F=2。

然而，欧拉真的是这个公式的最早发现者吗？

这个问题在历史上出现过争议，而竞争者就是解析几何之父——笛卡尔。

笛卡尔早于欧拉约一百年，他在世时并未发表过关于多面体的数学内容。当他在瑞典六十年一遇的严寒中感染肺病去世后，他的随身物品被好友（法国大使沙尼）运回巴黎，并转交给自己的姐夫（克莱尔色列），结果船只在塞纳河失事，装载着笛卡尔笔记和手稿的行李箱被河水冲走。幸运的是，三天后人们找到了这个箱子，里面的论文被悬挂晾干。之后它的拥有者将其陆续发表，并允许其他学者查阅原件。

莱布尼茨就是对笛卡尔笔记感兴趣的数学家之一，一次他到访巴黎，抄录了笛卡尔笔记中关于多面体的部分内容，这份笔记现在被称为《立体的基础理论》。

莱布尼茨到访八年后（1684年），克莱尔色列去世，笛卡尔未发表的笔记（包含《立体的基础理论》）也随之失踪。

在接下来的两个世纪，莱布尼茨的抄本也遗失了。

直到1860年，一位研究笛卡尔的学者（富歇·德·卡雷伊），从莱布尼茨的书信中知道他曾经有过一个抄本，来到汉诺威皇家图书馆搜寻抄本，虽然经整理的文件中没有找到。然而他却发现一个无人问津的壁橱中，有一堆落满灰尘的论文，其中居然就有莱布尼茨的抄本！

原来笛卡尔发现了多面体顶点数V、面数F和平面角数P之间，存在一定的关系。

他写下了这个公式：P=2F+2V-4。

平面角数与棱数是2倍的关系并不难发现，所以一度有学者认为，笛卡尔早于欧拉发现了多面体公式，这个第二优雅的公式应该冠名为笛卡尔公式。

但后来人们意识到，欧拉对这个公式，有一个更为本质性的认识，那就是他引入了“棱”这个概念。他在0维对象（顶点）、1维对象（棱）和2维对象（面）之间建立起了联系。

正因为这一深刻发现，才使得欧拉多面体公式能继续推演，庞加莱等人将欧拉的公式推广到了任意维的对象上，最终成了拓扑学的重要定理。

而笛卡尔的平面角，不能与“棱”相提并论，因此笛卡尔终究还是与它失之交臂。

欧拉凭借非凡的洞察力，为多面体理论树立起了两千年来的第一座里程碑。关于这个公式的证明，以及衍生出来的构造数学对象的规则，影响了接下来两百年无数数学家的命运。

欧拉不愧为是所有人的老师！