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五律·雨荷幽潜
引子
笔者在担纲《npj QM》编辑期间，边看边学。晃眼之下，自觉最为难懂的名词就是“规范场 (gauge field)”了。每每碰到，都会不自觉地“规避之”而不是“规范之”。可见，笔者这种外行，要去理解“规范”这一概念，难度会有多大。期刊最近刊登了一篇有关量子自旋液体中规范场动力学的论文，迫使笔者去临时抱佛脚而班门弄斧。因此，读者请不必计较本文的粗制滥造！
笔者给一二年级大学生讲授《电磁学》[https://pld.nju.edu.cn/Courses/CollegeElectromagnetics/index.html]，在第一章都会补充一些矢量代数知识，为后面的课程做准备，如图 1(A)所示。其中就有极矢量 (vector)及其点乘运算，满足一般性的矢量运算规则。其矢量场可用空间散度来描绘 (散度, divergenece, div = ▽ · F，这里 F 乃任意矢量场，▽ 是梯度算符 (▽ = i∂/∂x + j∂/∂x + k∂/∂x)，对应于有源有漏、有始有终的静电场及其高斯通量 (flux)。另一方面，极矢量 (vector) 也被定义了叉乘运算 (c = a × b)，得到矢量 c 的过程不完全满足一般矢量运算规则。所以，矢量 c 被称为赝矢量 (pseudo - vector)，其矢量场用旋度 (curl or rotation, rot = ▽ × F) 描绘。熟悉电磁学和量子力学的物理人，一定能感受到这一叉乘及“旋度”的巨大意义。物理人一向严谨，不会随意去发挥和声称。但作为外行的笔者，严谨性就要 low 很多，表现为说辞随意、不究严谨、依靠直觉。
赝矢量 c 指向矢量 (a, b) 平面的法向，因此是一种矩的表达，包括力矩、磁矩、电环矩等。与之伴随的物理效应是横向 (transverse) 或环绕的，自觉上与易于理解的纵向 (longitudinal) 散度不同。这种不同，也许是杨振宁先生说的那种“直觉”异常。将一开始的异常变成新的平常，大概就是杨先生推崇的、将新知识变成直觉的推演方法。当然，现在知道，如上讨论的点乘散度和叉乘旋度结构，具有各自的对称性，导致物理学出现了丰富的效应。简单粗暴地说，这些矢量场被特定约束后，就是所谓的“规范场 (gauge field)”。用对称性数学理论去处理这些规范场，就是所谓的“规范理论 (gauge theory)”，注意到对称性操作与矢量代数几成一体。读者可看到，如此高端的“规范”，被 Ising 横刀竖剐，就只剩下这般浅薄的涵义了。谨对它们表达歉意。
举个最简单例子，即牛顿力学中的惯性运动。众所周知，物体的运动惯性，一种模式是直线或切线。直线运动的能力与平动动量相联系。但是，直线运动在实际应用中无法持久，因为运动总要有始有终，总不能一直运动到天涯海角去，总需要一个起点和终点，从而与散度场对应。实际上，在我们身边，更常见、更重要的运动反而是转动或环绕 (rotation)，不论公转自传，可以用角动量表达。角动量之所以更重要，乃是因为身边日常生活涉及的工具都是尺度有限的，不是直线运动的最爱。固体中的运动，主要是角动量过程，因为转动可在有限区域内完成、且环境的平动干扰不会影响角动量。最常见的角动量器件之一就是陀螺，被广泛应用来实现定向、导航和动量守恒一类的应用，可是厉害得紧！有此例启示，我们似乎有点明白为何凝聚态中有那么多丰富的效应都与转动或回转相关，也即与叉乘相关。个中原因，无非是作为物理载体的电子被约束于晶格原子轨道中，主要运动模式是横向的，包括自转的自旋或公转的轨道。拓展到量子材料中，物理人经常遇到的自旋、磁矩、自旋 - 轨道耦合、霍尔效应等，无一不是如此。
当然，角动量 L = r × p 是衡量转动、环绕的本征量，如图 1(B) 所示，其中 r 是空间位置矢量、p 是平动动量 (p = m·dr/dt)。L 的一个重要特征是其时间反演不对称、空间反演对称。更进一步，角动量 L 是比平动动量 p 更高一级的量 (多一个空间坐标 r，量纲不同)，它们不是一个层面的惯性，正如磁感应强度 B (统称磁场) 和静电场 E 不是一个层面的物理一般。很显然，凝聚态物理那些与自旋相关的效应，都可与角动量联系起来。
图 1. 点乘与叉乘的物理：平动、旋度、散度与角动量。
(A) 教科书中极矢量均匀场、旋度场、散度场的形态。(B) 角动量 L 的定义，打破时间反演对称性、保持空间反演对称性。(C) 一对亥姆霍兹线圈周围的磁场 B 和磁矢势场 A 的形态。注意到，按照 A 的定义，B = 0 的区域依然可以有非零的 A。经典电磁学中，B 是基本物理量，A 是为了数学上与静电势对应引入的。但在量子力学中，A 是具有更本征物理意义的物理量：与贝里相位相联系。
(A) https://vectorified.com/download-image#pseudovector-12.jpg。(B) from textbook。(C) What Is Gauge Fixing? A Theoretical Introduction, https://www.comsol.com/blogs/what-is-gauge-fixing-a-theoretical-introduction。
磁矢势、规范场
基于对角动量的讨论，学过《电磁学》的物理人再来看 gauge field，似乎就能如笔者一般，隐约感受到其与矢量点乘、叉乘之间的联系。这里只是从大学物理角度讨论一二。事实上，规范场及后来基于对称性发展起来的规范理论，对 Ising 而言，依然是很远很远的新事物。
从英文字面理解 gauge。笔者宁可将 gauge 理解成圆规而不认为圆规的英文是 compass。gauge 表达的是物理甚至哲学涵义上的度规，而 compass 更多是一种几何意向。圆规，通过中心 (圆心) 锁定轨迹，形成一种确定测度，更多体现了“gauge”最核心的意义。当然，中文将 gauge 翻译成“规范”，有其独特的、与对称性相关的物理涵义，也很高雅博大。中国科学院物理研究所曹则贤老师在其大作《物理学咬文嚼字之五十八》中，曾对这一翻译进行过剖析点评。杨振宁先生对更高层次的规范理论 (gauge theory) 发表过讨论，中文版刊发在《物理》上[汪忠译，2014年第43卷第12期780-786页]。感兴趣的读者可前往御览。
规范场的概念最早源于《电磁学》(例如汤姆逊)。电荷以静电场为载体在空间扩展，形成极矢量和标量势。电场是电势 U 的空间梯度 (E = -▽U)，其散度不为零、旋度为零 (div E ≠ 0, rot E = 0)，是标准的极矢量表象。由此，《电磁学》形成了一整套基于高斯定理和环路定理的静电学语言。如此，只要定义出标量势函数的参考零点，就有了矢量场与标量势的一一对应关系。此乃所谓规范 (gauge) 的一种最简单的形式，直观、易于图像化理解。
这样的规范，运用到其它形式的矢量场中，未必那么直观。按照 B - S 定律，磁场 B 是荷电运动速度 (v) 与空间位置矢量 (r) 的叉乘 (B ~ v × r)，与角动量 L = r × p 类似，是赝矢量。虽然《电磁学》经常将电场与磁场做类比，实际上它们是矢量属性不同的两类场，也因此磁场绝不会如电场一般可定义为某个标量势的梯度。既然如此，如何定义 B 对应的势呢？形式上，总可找到某个函数 A，其空间导数与 B 对应。然而，一则因为 B 是赝矢量、叉乘、无源 (div B = 0) 有旋 (rot B ≠ 0)，二则因为标量势无法定义出一个有旋场 (rot B ≠ 0)，因此磁场 B 的所谓“势 (potential)”，必须是矢量场 A，满足 B = rot A，即电磁学中的所谓“磁矢势”，如图 1(C) 所示。
在经典电磁学中，A 原本不是一个具有明确物理意义的量，虽然物理人也就事论事地将矢量场 A 与电流 J 和磁场 B 之间的关系一一梳理出来，呈现出那个经典的电磁学三角形，如图 2(A)所示。不过，电磁学和电动力学在量子力学之后出现的根本性革新，就是那个 A - B 效应的提出和实验观测，如图 2(B) 所示。由此，磁矢势 A 有了比磁场 B 更本征的物理涵义：波函数的贝里相位 (Berry phase)。注意到，如果 A 满足 B = rot A，则 A' = A + ▽ϕ 也必定满足 B = rot A'，这里 ϕ 乃标量函数，因为 ▽ × ▽ϕ = 0。多个磁矢势 (A、A') 的存在，意味着磁矢势的定义有冗余、不唯一。对其进行约束，只取同时满足 rot A = B ≠ 0 和 div A = 0 的矢量函数 A 为磁场 B 的规范 (gauge)。这一约束，通过规范矢量 A 的散度为零来排除磁矢势冗余。读者请注意，这里的规范就是将 A 的散度压制掉，只保留旋度，从而给了对称性以明确的区分和上下台阶。这是绝对的高明物理！
现在，物理人似乎了解了：规范就是约束。就像半径确定的圆，可以随便画在哪里，但一旦圆心坐标确定了，圆就只能在一个位置。更一般性的描述，可借助亥姆霍兹定理 (Helmholtz’s theorem)：任意一矢量场 F，都可分解为无旋 (curl-free, ▽ × F = 0) 和无散 (divergence-free,▽‧ F = 0) 两部分。对一有限边界区域，如果已知 ▽ × F 和 ▽‧ F，则矢量场 F 唯一确定。电磁学中静电场唯一性定理和这里的矢量场 A，即是如此约定的。
这一规范，将电磁场规定为散度场 (无旋、有源、点乘) 和旋度场 (无散、无源、叉乘) 两大类，它们的时空形态、对称性特征很不相同、甚至几不相干，描述起来各自一套，对称性划分各自成类。既然如此，那就基于散度和旋度的刻画，用对称性去分类、描绘和拓展。这样的对称性描述及其后果的理论，也就是电磁场规范理论 (gauge theory) 的初步了。更有张力和深远影响的是，类似的观念还可拓展到引力场、强弱相互作用场中，并与量子力学结合，形成包括量子场论在内的各种数学上优雅、一致的现代理论，对粒子物理和宇宙学均产生重要影响。其中，众所周知的就是对称性破缺概念运用于基本粒子物理中。事实上，量子场论正是提供了理解对称性破缺的新框架。自发对称性破缺，通过量子场论中的 Higgs 机制，解释了“Higgs 子”如何贡献宇宙中的质量，虽然 Ising 完全不懂这些现代理论^_^。
行文到此，关于规范理论的更多理解已超出笔者的能力，故而收住手足。总结一句：现在的规范理论，更多是一种数学理论，以描述一个物理系统如何保持其特定对称性。或者说，按照规范理论规定的数学变换去处理物理过程，虽然路径可能不同，但不会改变物理过程的结果。用到电磁规范场中，就是要求电磁场必须满足规范对称条件。一个通俗易懂、但未必严谨的例子，就是电磁场中的标量势和磁矢势：改变势函数的参考点 (标量势 U 参考零点 U = 0 的位置或者矢量势 A 散度零点 ▽ ‧ A = 0)，只是所谓的规范变换，不改变结果。这一特征，给了物理人一种工具或手段：(1) 面对复杂问题，可寻求简单的方法处理。只要对称性规范一样，得到的结果就是一样的。或者 (2) 绕开那些复杂的物理系统，从对称性规范一样的简单模型出发，去得到非凡的物理结果。这些结果，竟然也会是那些复杂物理系统的结果！就这一点也可以看出，规范理论，实在是解决复杂物理问题的、异想天开而乐得其成的好办法！
图 2. (A) 环绕电流密度 J、磁场 B、磁矢势 A 及其规范场定义。(B) 著名的 Aharonov - Bohm (AB) 效应简单表述 (见图题)。
(A) https://peppyhare.github.io/r/notes/griffiths/ch5-4/。(B) J. L. Chen et al, Spin vector potential and spin Aharonov-Bohm effect, Fundamental Research (Available online 21 October 2023), https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S2667325823002789。
Kitaev自旋液体
那好，这么牛的规范理论，在凝聚态物理中会有什么表现？！绝好的表现多了去了，虽然笔者不懂！
这里，且看一个量子材料的实例：Kitaev 自旋液体模型。量子自旋液体 (quantum spin liquid, QSL) 这一主题，作为量子材料近年的闪亮点毋庸置疑。Ising 前些年曾写过一些短文，如《自旋液体，深浅自知》。其中既无序又关联的基态特征和到目前为止还难以预估的低能激发态空间，让物理人又爱又恨。爱，乃源于这些激发态所蕴含的，都是吸引人的新物理和新应用，如磁单极、分数电荷、马约拉纳费米子和非费非玻的任意子 (anyons that are neither fermions nor bosons)。恨，乃源于 QSL 实在是太复杂了、太难做理论了 (没有足够好的序参量可定义)、太难做实验了 (没有足够好的序参量可测量)。理论和实验物理人更多时间是在挠头和苦恼，找不到一个足够好的物理模型去展示这些新物理和新应用。
此时，如果有一个简单模型能够提供帮助，无疑是“久旱逢甘霖、沙漠撞绿洲”。Kitaev 模型就是这个角色，而且还是一个严格可解的模型！这一模型定义于二维蜂窝晶格中，有 QSL基态，其自旋分数化激发即是 Z2 规范场约束的、可巡游的马约拉纳费米子 (Majorana fermions)。除此之外，这一模型还展示了如上提及的、其它量子基态与低能激发，例如无能隙的狄拉克费米子 (gapless phase of Dirac fermions) 和有能隙的阿贝尔任意子 (gapped phase with Abelian anyons)，如图 3 所示。最诱人的，当然还是磁场存在下的手性自旋液体态，其规范场低能激发即是伊辛任意子和无能隙马约拉纳零能模 (gauge - field excited Ising anyons and gapless Majorana modes)，是目前所知的、量子计算和信息传输的最佳载体之一。
当然，按照规范理论，Kitaev 模型预言的物理肯定存在于很多体系。或者说，一个现实的物理体系，如果其中存在 Kitaev 互作用，则针对理想的 Kitaev 模型得出的那些结果，在这些现实体系中亦会存在。问题是，这些物理在实际体系中是否会被掩盖掉，或者说 Kitaev 包含的规范对称性能不能脱颖而出？不幸的是，很多实际体系包括的其它相互作用大多远比 Kitaev 哈密顿强大。例如，一个量子磁性体系，如果基态是有序态，物理人就是将其中的 Kitaev 说破天去，也还是枉然。Ising 也曾经写过一些这方面的小短文，如《Kitaev量子自旋液体的至亲》、《Kitaev 物理的电极化调控》等。
意识到这一点，开始有物理人奋发拼搏，将长程磁性干掉。如此，Kitaev 物理就应该出来了。其实不然，干掉了高能标的长程序，还有很多低能标的涨落或耦合在那里，需要认真清理和排除，因为 Kitaev 作用的能标也不大。但是，只要体系规范的对称性在那里，则还是可以看到那些 Kitaev 物理效应的。即便是退而求其次，只要能将包含有某些可控低能标物理的混合 Kitaev 模型及其效应研究清楚，也是令人激动的，说不定还有更多的、出人意表的好物理。
图 3. 二维蜂窝晶格中定义的理想 Kitaev 模型 (A) / (B) 及其严格解给出的相图 (C)。
(A) From Prof. Guangming Zhang, Cond-mat/0610626。https://slidetodoc.com/jordanwigner-transformation-and-topological-characterization-of-quantum-phase/。(C) https://journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB.89.235102。
事实上，在这一条道上尝试的物理人可是不少。例如，来自德国科隆大学理论物理研究所的知名量子磁性理论学者 Achim Rosch 教授团队，就是其中一支人马。他们最近将关于多层 Kitaev 自旋液体系统中规范场动力学的研究成果刊登于《npj QM》上，引起同行关注。笔者对此 topic 完全是外行，不过是囫囵吞枣，记下几条读书笔记：
(1) Kitaev 物理的一个重要分支是揭示小能标干扰对理想化 Kitaev 模型的影响，其中一类干扰会打破 Kitaev 模型的可积性 (integrability - breaking)。破坏原本严格可解模型的可积性，属于严重事态、后果严重^_^，其中可能就包括破坏规范场的对称性。由此，原本静态规范场 (static gauge field) 可能就变成动力学的了 (dynamical)。一种动力学行为，就是磁通涡旋激发态，称之为 vison (拓扑激发)，具有 Z2 拓扑序 (拓扑荷为 2)，如图 4(A) 中的列表所示。进一步拓展之，还会出现诸如 vison pair (拓扑涡旋对)。研究这种 vison 和 vison pair 的运动，显然是 Kitaev 自旋液体激发的一种重要模式，类似于 K - T 相变中的 vortex - antivortex 对，自然受到广泛关注。
(2) 好吧，实际的 Kitaev 体系中存在哪些最主要的干扰会诱发这些动力学行为呢？！不可否认，理想化的二维 Kitaev monolayer 蜂窝晶格不大可能真的存在于现实中。实际体系要么是层间耦合很弱的 Kitaev 体系，或者是 monolayer 与基底组合起来的混合体系，层间耦合 (inter - layer coupling) 不可避免。因此，首要的干扰，自然是层间耦合，Kitaev 规范场的动力学，首先应该是这些层间耦合干扰所导致的动力学。最近，的确有不少研究都关注层间耦合对 Kitaev 物理的影响，但关注这种层间耦合对拓扑激发 vison 及其 pairs 的运动有何影响的工作不多。事实上，这类拓扑激发态的确严重依赖于层间耦合。这，也正是 Rosch 教授他们工作的重点。
(3) Rosch 他们展示出，在不同层间堆砌模式 (stacking modes, A - A, A - B, ABC) 所构成的 Kitaev bilayer honeycomb lattice 中，作为最具有普遍性的海森堡型层间耦合，是会显著影响 visons 及 vison pairs 在层内和层间的运动的。他们的结果显示，层间海森堡耦合激发的就是 vison 态。他们得到的各种层内和层间运动模式，列表和图示于图 4 中。读者欲了解其中细节，当前往御览前文，笔者在此不提。
图 4. Achim Rosch 教授他们的理论结果 (详细解读请关注原始论文)。
(A) List of the low-energy gauge excitations for multilayer Kitaev models with either AA, AB, or ABC stacking and summary of the main results. (B) Visons in an AA stacked Kitaev model. (C) Dynamics of vison pairs - AB stacking.
作为结语，我们看到，对存在层间海森堡弱耦合的蜂窝晶格中 Kitaev 低能激发动力学，科隆大学 Achim Rosch 他们进行了视角独到的理论探索，揭示了其中拓扑激发单元 (vison, vison pair) 的运动特征，以体现这一体系规范场动力学。这种层间耦合，是现实的二维材料中普遍存在的。这种拓扑激发单元的运动，是否会改变 Kitaev 物理的本征性质，当然是 QSL 最重要的问题之一。从这个角度看，即便 Ising 是外行，也能嗅到其中的那种轰隆隆的声音在传来。阿门！
Gauge field dynamics in multilayer Kitaev spin liquids
备注：
(1) 笔者 Ising，任职南京大学物理学院，兼职《npj Quantum Materials》编辑。
(2)小文标题“袭扰Kitaev规范场”乃宣传式的言辞，不是物理上严谨的说法。这里只是用一种形象语言,将二维 Kitaev 蜂晶格中的涡旋拓扑激发 (vison, vison pair) 如何受层间影响表达出来。这里的“袭扰”有两重涵义：一是指准二维层状蜂窝晶格的层间耦合，对 Kitaev 物理的微扰影响；二是指笔者是外行，写的文字只能属于看热闹的水准，因此是对严格的“规范”和 Kitaev 物理的袭扰式解读。
(3) 图片来自 Ising，随拍于玄武湖暴雨后 (20240726)。小诗 (20240727) 描述金陵盛夏暴雨后的观感。荷塘之中，狂风暴雨下，还有那么一条栈道延伸到彼岸么？就像这 Kitaev 的规范场动力学。
(4) 封面图片来自 Achim Rosch 他们论文中的图 7，展示了三种层间拓扑激发的运动色散关系。