中科院计算技术所最新进展！成功确定某些化学启发式变分量子算法中存在贫瘠高原
在量子化学中，变分量子本征求解器（VQE）是一种很有前途的算法，可用于在近期量子计算机上进行分子模拟。然而，由于贫瘠高原问题，使用硬件高效线路的VQE面临扩展方面的挑战。这就提出了一个问题，即来自幺正耦合簇（UCC）方法的化学启发式线路是否可以避免这个问题。10月18日，中国科学院计算技术研究所、中国科学院大学计算机科学与技术学院的研究人员在《Communications Physics》期刊上发表题为“Towards determining the presence of barren plateaus in some chemically inspired variational quantum algorithms”（确定某些化学启发式变分量子算法中存在贫瘠高原）的研究论文，Rui Mao为论文第一作者，孙晓明研究员为论文通讯作者。
在本文中，研究人员提供了理论证据，表明可能无法避免开头提出的问题。通过检查交替dUCC拟设（alternated dUCC ansätze）和弛豫特罗特化UCC拟设（relaxed Trotterized UCC ansätze），发现在无限深极限下，粒子-空穴单体和两体幺正算子之间发生了分离。虽然单体项产生多项式集中的能量景观，但添加两体项会导致指数集中。数值模拟支持这些发现，表明一步特罗特化的具有单激发与双激发的幺正耦合簇（UCCSD）拟设可能无法扩展。该结果强调了可训练性和线路表现力之间的联系，引发了对VQE超越经典方法的能力的怀疑。
背景
近年来，人们对开发量子算法以利用含噪中等规模量子（NISQ）设备的功能产生了浓厚的兴趣，希望在不久的将来解决经典的难以解决的计算问题。计算化学有望成为首批受益于此类进步的领域之一。一种很有前途的、用于化学分子模拟的NISQ算法为变分量子本征求解器（VQE），旨在找到给定哈密顿量的基态能量。VQE是一种量子-经典混合算法——量子计算机用于制备参数化试探态（trial state），即拟设（ansätze），并进行测量以获得给定哈密顿量的期望值，即成本函数。然后根据Rayleigh-Ritz变分原理，使用经典计算机迭代训练参数，以使成本函数最小化。尽管VQE已成功应用于各种小分子，但它面临着若干挑战。从实际角度来看，所需的测量次数可能太大而无法承受，而且由于硬件噪声，线路深度受到限制。更重要的是，目前对VQE缺乏理论理解，因为它是一种启发式算法，无法保证比传统方法产生更精确的解。此外，研究发现，对于变分量子算法，产生更优解的能力往往以贫瘠高原（barren plateau）问题为代价，即梯度随着系统大小呈指数式衰减。这意味着即使全局最小值优于传统方法，通过缓解贫瘠高原，也可能无法利用VQE找到全局最小值。目前尚不清楚是否存在比传统方法更准确（或至少无法被传统方法模拟）且可训练的VQE。VQE中采用的拟设大致可分为三类：化学启发式拟设、硬件高效型拟设（HEA）和哈密顿量变分拟设（HVA）。第一类源自成熟的经典量子化学方法，因此可提供更高的精度。幺正耦合簇（UCC）拟设是一类主要的化学启发式拟设。第二类旨在与NISQ设备更兼容，而第三类介于两者之间。众所周知，HEA和HVA通常会受到贫瘠高原的影响。人们仍然希望化学启发式拟设可以避免，因为直觉上化学启发式拟设探索的空间是有限的。在化学启发式拟设中，交替解纠缠UCC（disentangled UCC，dUCC）相较于UCC的优势在于，它可以证明在k→∞时，仅使用单激发和双激发就能表达精确的FCI状态。几种常见的拟设可以被视为交替dUCC拟设的示例，包括具有广义单激发与双激发的幺正对耦合簇的k乘积（k-UpCCGSD）分析、基底旋转拟设（BRA，因为当作用于相邻量子比特时，Givens旋转等效于单激发旋转）和一步特罗特化的具有单激发与双激发的幺正耦合簇（UCCSD）拟设。
理论方法
首先，研究人员构建了一个理论模型，该模型基于对UCC线路的特罗特化近似。在这个模型中，线路被分解为多个步骤，每个步骤都对应一个参数化的幺正变换。这些变换的参数随后被用来最小化成本函数，即系统的基态能量。研究人员进一步考虑了在无限深度极限下，线路中不同类型激发算子（如单激发和双激发幺正算子）之间的分离。他们发现，当线路仅包含单激发项时，成本函数的集中度呈现出多项式下降；而当加入双激发项时，这种集中度会转变为指数下降。这一发现表明，双激发项的引入显著增加了成本函数的集中度，从而可能导致贫瘠高原现象。此外，研究人员还利用了量子信息理论中的一些高级工具，如动态李代数（DLA），来分析线路的表达能力和成本函数的集中度。通过这些理论工具，研究人员能够定量地描述线路参数空间的几何结构，以及这些结构如何影响算法的可训练性。最后，研究人员提出了一个定量关系，将成本函数的集中度与贫瘠高原现象联系起来。这一关系表明，当成本函数的方差在参数空间中呈现出指数级的集中时，就会产生贫瘠高原现象，从而导致算法的梯度消失，使得基于梯度的优化方法失效。
图1：四种交替dUCC拟设的投影态和成本方差的收敛性。
数值计算
研究人员采用了数值模拟来验证他们的理论预测。通过设计了一系列的数值实验，以模拟不同深度和不同激发项的UCC线路，并观察这些线路的成本函数方差如何随线路深度和激发项的变化而变化。首先，研究人员实现了一个高效的数值模拟框架，该框架能够处理大量的参数和复杂的量子线路。他们使用了Python和Rust编程语言，结合了GPU加速计算，以提高模拟的效率和可扩展性。在模拟中，研究人员考虑了不同数量的量子比特和不同数量的激发项，包括单激发项和双激发项。通过随机初始化线路参数，并计算在这些参数下的成本函数值，来模拟成本函数的分布。研究人员特别关注了成本函数方差随线路深度（即特罗特步数k）的变化。结果发现，当k增加时，对于包含双激发项的线路，成本函数的方差迅速下降，这一趋势与理论预测相符。此外还观察到，即使在较小的k值下，成本函数的方差也呈现出指数式衰减，这表明贫瘠高原现象可能在实际应用中的线路中出现。为了进一步验证理论模型的普适性，研究人员还考虑了不同的电子结构哈密顿量和不同的初态，发现尽管成本函数的方差对于不同的哈密顿量和初态有所变化，但其总体趋势与理论预测一致。通过这些数值计算，研究人员不仅验证了他们的理论模型，还为理解VQE算法在实际应用中可能遇到的挑战提供了新的见解。这些实验结果强调了在设计量子算法时，需要仔细考虑线路的深度和激发项的选择，以避免贫瘠高原现象，提高算法的可训练性和效率。
图2：当ne = n/2时，kUCCSD的成本方差和相对误差对渐近方差的缩放。
研究成果
研究结果表明，即使是化学启发式线路，也可能无法避免贫瘠高原问题。这一发现对于VQE算法的发展具有重要意义，其意味着即使是在理论上更准确的线路，也可能在实际应用中遇到训练难题。此外，研究还发现，当线路中包含单体项和两体项时，成本函数的集中度会显著增加，这进一步加剧了贫瘠高原问题。数值模拟的结果进一步强化了这一观点。研究人员发现，对于k-UCCSD线路，即使在k值较小的情况下，成本函数的方差也呈现出快速下降的趋势。这表明，即使是在实际应用中常用的一步特罗特化UCCSD线路，也可能面临贫瘠高原问题。
主要研究人员
孙晓明，中国科学院计算技术研究所研究员、博导。主要研究方向为算法和计算复杂性、量子计算。田国敬，中科院计算所副研究员，CCF量子计算专业组首届执行委员，CCF理论计算机专委委员。主要研究方向包括量子算法设计、量子线路优化、量子非局域性、量子模拟等。