正交分解是人类认知世界的基本工具,在各行业都有着广泛的应用。这篇文章,作者运用正交分解给大家拆解了金字塔模型的原理,供各位参考。
在高一阶段,我们学习物理中力的合成与分解时,会接触和使用正交分解的方法。即通过将一个力分解为相互垂直的两个分力,利用直角坐标系进行力的分析和计算。这篇文章主要就是介绍正交分解,并说明正交分解为什么是人类认知世界的基本工具。
一、正交分解的起源
在古希腊,毕达哥拉斯学派发现了直角三角形三边之间的关系(a2+b2=c2),直角三角形的两条直线相互垂直,这可以看作是正交概念的早期体现,为正交分解奠定了基础。
随着数学的发展,笛卡尔创立了解析几何,引入直角坐标系,使得几何图形和物理现象的分析可以通过代数方法进行。直角坐标系中的两个坐标轴相互垂直,为正交分解提供了具体的数学工具和框架。
在物理学领域,正如文章开头所说,正交分解也逐渐应用起来。
总的来说,正交分解是在数学和物理学的长期发展中逐渐形成和完善的,它融合了古希腊的几何思想、笛卡尔的解析几何以及后来物理学的验证成果。
二、正交分解的原理与方法
正交分解是一种将一个矢量分解为两个互相垂直的分矢量的方法。
在直角坐标系中,把一个矢量沿两个互相垂直的坐标轴方向进行分解。设某一矢量为A,将其分解为Ax和Ay两个分矢量,其中Ax沿x轴方向,Ay沿y轴方向。根据矢量的合成法则,有A=Ax+Ay。
三、正交分解的应用
接下来,我们通过了解正交分解在各个领域的应用,来体会该工具的魅力。
物理力学的应用:
已知物体重力为G,绳与墙面的夹角为α,求墙面对绳子的支持力F。
解:我们将绳子的拉力T进行正交分解为T1和T2,且墙壁对小球的支持力和T2大小相等方向相反。即:F=T2=T1tanα,T1=G,故F=Gtanα。
解析几何的应用:
已知两点A(1,2)和B(3,4),求线段AB长度。解:
经济学的应用:
企业分析成本支出情况,会分解为:固定成本和边际成本等。通过分解后,企业可以根据不同方向,进行进一步的分解,找出固定成本、边际成本的组成及变化情况,进而对下一步企业决策提供依据和方向。
统计学的应用:
在实际的统计问题中,变量之间往往存在复杂的关系。通过正交分解,可以将一个复杂的问题分解为多个相对简单的子问题。以一个销售数据的分析为例,销售总额可能受到产品价格、广告投入、市场竞争程度等多个因素的影响。通过正交分解,可以分别研究每个因素对销售总额的影响,而不受其他因素的干扰。
生活中的应用:
若我需要分析我每个月的消费支出,为了能够清晰的知晓支出具体情况,我会把支出分解为:食品消费、服装消费、住房消费、教育消费等。从而,若我决定缩减支出,我可通过分解结果,进行决策削减哪个方向支出。
四、正交分解的特点
通过正交分解的实际应用,可以总结出正交分解具备以下特点。
其一,简化问题,便于分析问题。这是正交分解的最大特点和优势,世界的各种现象是复杂的且涉及多因素的,通过正交分解,可以将复杂问题分解为多个相对简单的子问题,便于进行分别研究和分析。
其二,通用性与普适性。通过上述案例,可以看出正交分解可应用在物理、数学、经济、计算机、生活等等领域。
其三,培养科学逻辑思维。首先,正交分解要求我们对问题进行抽象和简化,将复杂问题分解为简单的部分,这就培养了我们的抽象思维能力。其次,正交分解过程中,我们会确定各个分矢量之间的关系以及对整体的影响度,这就培养了我们的逻辑思维能力,使得我们进行严谨的推理和论证。最后,我们通过正交分解得出的结果,会进行问题的逐步分析和解决,锻炼了我们解决复杂问的能力。
五、总结
最后,谈及一个我们熟知原理,即金字塔原理。金字塔原理的关键原则:MECE。
即Mutually Exclusive Collectively Exhaustive。即相互独立、完全穷尽,也可以理解为不重不漏!
- 相互独立:意味着对某个事物、问题产生原因等,进行分类,且各分类之间不重叠。
- 完全穷尽:把所有情况都考虑周全,没有遗漏。
综上,你可以理解到金字塔原理与正交分解本质是同一个工具。正交分解是金字塔原理的理科表述,而金字塔原理是正交分解的文科表述。
作者:泽哥产品笔记,微信公众号:泽哥手记(id:xmind1016)
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