自2024年暑期始，笔者受丘成桐先生的嘱托，一直在网上讲解“计算共形几何课程”。课程的重点是哈密尔顿（Richard Hamilton）发明的里奇曲率流（Ricci flow）在离散情形的推广，以及由里奇流理论证明的瑟斯顿三维流形几何化纲领 （Thurston's geometrization program）。昨天，助教刘熠博士突然转告了噩耗，令笔者无比震惊，深深慨叹人类又失去了一个伟大的灵魂。
在1990年代末，笔者追随丘成桐先生在哈佛大学攻读博士。每个周末都会有一位教授从纽约飞到波士顿，和丘先生通宵达旦地讨论几何问题。丘先生办公室的灯光一直到午夜才熄灭，黑板上写满了深奥复杂的公式和几何图形。每天中午，丘先生邀请这位教授共进午餐，丘先生的学生们一起陪同。这位教授英俊倜傥，双眸极其明亮，令人一见难忘，印象深刻。（笔者生平见过很多数学家，因为思想纯粹而深刻，他们都是眼神清澈，目光明亮，例如郑绍远、张益唐教授等。）很多时候，我们都去毗邻哈佛校园的燕京餐馆。燕京的老板与丘先生非常熟络，用粤语和京片儿打着招呼。后来才得知，燕京的老板是当年云南王龙云的后代，常年在波士顿经营餐饮业。我们经常光顾的哈佛附近的另外一家餐馆，名为常熟，据说其老板是满清爱新觉罗氏。这位教授极其风趣幽默，餐桌上滔滔不绝，抒发他对数学的诚挚热爱，和对生活的满腔激情。依稀记得他有些时候带女友来拜访丘先生，但是每次女友都不同。和他徜徉在哈佛广场，他目光炯炯，神采飞扬，经常有女性过来搭讪。这位教授就是哈密尔顿，当时已经做出了里奇流，但尚未世人理解，后来名动天下，成为丘先生开创的几何分析学派的得力干将，彻底改写了几何分析和低维拓扑的版图。
Fig1. 曲面单值化定理。
在过去的半个多世纪，数学中最令人瞩目的猜想就是庞加莱猜想（即单连通的有限封闭三维流形为球面），数学家们提出了各种纲领力图加以解决。早期的方法侧重代数，将三维流形的拓扑归结为基于扭结理论的拓扑手术，虽然取得了巨大的进步，但是只是将三流形拓扑的复杂性转换为扭结的复杂性，对于问题本身，无法彻底攻克。丘先生当时并不看好这个方向，他认为这种途径并不“自然”。丘先生的伯克利同学瑟斯顿教授提出了用几何研究拓扑的方法，即将三流形进行拓扑分解，得到基本的组成单元，而每个组成单元上可以配备标准的几何，然后通过流形的分解方式于最终每个单元上的几何来研究初始流形。这个想法可能受到曲面单值化定理的启发。在1910年代，Koebe和庞加莱证明了任意封闭带黎曼度量的曲面上，依赖于其拓扑结构，都可以配上三种标准黎曼度量（常值曲率度量）中的一种，即得到球面几何、欧氏几何和双曲几何（并且标准度量与初始度量共形等价）。瑟斯顿的几何化纲领就是将其推广，三维流形的基本组合单元上可以配备八种标准几何中的一种（标准度量和初始度量之间没有共形等价关系）。几何化纲领包含了庞加莱猜想，但是如何找到三流形的标准黎曼度量，成为核心困难。丘先生很早就提出应该用几何分析方法，通过黎曼流形上的偏微分方程理论来攻克这个问题。例如丘先生用极小曲面理论来研究三流形内部的本质曲面，从而探测其拓扑信息。哈密尔顿天才地提出了里奇曲率流的想法，使得丘先生的设想得以实现。
Fig 2. 双曲三流形，瑟斯顿的苹果。
在热力学理论中，热扩散的现象用热流方程来描述，物体上有个温度场，温度函数的梯度场给出了热流场，每一点处热流的散度（即温度梯度的散度，温度的拉普拉斯Laplacian）给出热量的变化率，正比于温度的变化率。温度依随时间演化，当时间趋向无穷时，温度趋于常值。据说哈密尔顿酷爱冲浪，有一次他在圣地亚哥海岸附近冲浪，看到浪涛拍击礁石浪花飞溅，顿悟出里奇流：我们让黎曼度量类比于温度，温度的二阶导为Hessian矩阵，其迹（trace）为拉普拉斯，度量张量的二阶导为截面曲率张量，截面曲率张量的迹为里奇曲率张量，我们令度量张量随时间的变化率等于里奇曲率张量，曲率的演化遵循非线性热方程，最终趋于常值。哈密尔顿将里奇流的想法告诉了丘先生，丘先生立刻认识到这一想法的巨大潜力，坚定不移地极力倡导用这种方法证明庞加莱猜想。丘先生命令笔者的师兄们倾尽全力投身到里奇流的研究中去，并且把自己的学生Ben Chow送给哈密尔顿进行培养，并且要求自己当时的学生，笔者的师兄们曹怀东，Bando等都去听哈密尔顿的课程。
2002年，丘先生到加州访问，笔者跟随丘先生来到洛杉矶。丘先生在加州大学洛杉矶分校、尔湾分校、加州理工大学给了系列讲座，包括他指导笔者完成的离散霍奇分解理论和算法。离散霍奇分解理论本质上是将经典的有限元理论从函数空间推广到流形的微分形式空间，将外微分理论离散化。丘先生与UCLA的陈繁昌院长，Paul Thompson合作，将这种方法应用于脑神经病理研究。笔者和丘先生的博士后王雅琳共同设计算法，编写程序，进行实验。师兄刘克峰当时为UCLA的数学教授，他在家中为丘先生祝寿，Ben Chow从圣地亚哥赶来祝寿。那时哈密尔顿和Ben证明了曲面里奇流的收敛性，从而给出Koebe-Poincare单值化定理的新的证明方法。Ben Chow给笔者带来一篇他新近完成论文，他与罗格斯大学的罗锋教授合作，力图将曲面里奇流和经典的瑟斯顿圆盘填充理论融合，将里奇流推广到离散曲面情形。笔者从这时开始了离散里奇流理论和算法的研究。
三维流形上的里奇流会出现奇异点，即在有限时间之内，流形上的某些点处曲率趋于无穷大，从而里奇流中断，这被称为是曲率爆破。一个自然的想法是在奇异点处将流形切开，每个分支再应用里奇流。这需要证明整个过程中，奇异点的总个数是有限的。哈密尔顿和丘先生的合作中遇到了某种雪茄型的奇异点问题，一直久攻不破。2002年左右，曾经师从过哈密尔顿的俄罗斯数学家佩雷尔曼取得了突破。他根据从哈密尔顿那里所学到的里奇流的思想，创造性地应用类似李-丘估计，排除了雪茄型奇异点的存在性，从而成功地解决了曲率爆破问题。同时，他发现里奇流是某种熵能量的梯度流，可以从变分法角度来理解，从而证明了庞加莱猜想。进一步，里奇流理论的发展彻底解决了瑟斯顿几何化猜想。
2004年笔者来到纽约教学，依然与丘先生保持频繁的学术交流，同时与罗锋教授密切合作，将离散曲面里奇流理论进行深入研究。从理论角度而言，我们希望能够将经典的光滑曲面单值化定理推广到离散情形；从算法角度而言，我们希望能够发明出一些实际的算法通过曲率来设计黎曼度量。微分几何的核心概念是黎曼度量和曲率，同样的，在工程和医学图像等领域，只要涉及到拓扑与几何，核心问题往往归结为如何求取满足特定条件的黎曼度量。在里奇流理论出现之前，最为有效的计算手段是有限元法（有限体积、边界元法等），这些方法广泛应用于多物理场模拟仿真，成为现代工业软件的基础。但是有限元方法都是在某个固定的几何背景下求解数值偏微分方程，而我们希望求取的正是几何背景（黎曼度量）本身。其对应的几何偏微分方程高度非线性，传统的方法无能为力。而新兴的里奇流成为计算黎曼度量的首选方案。当时很多国家的数学家和计算机科学家都在竭尽全力地竞争，力图发展基于里奇流理论的新型计算模型，通过曲率来得到度量。
Fig 3. 共形脑图技术。
我们发明了多种算法，应用于广阔的工程和医疗领域。例如，脑神经科学中的共形脑图方法将大脑皮层曲面共形地映射到单位球面上，从而可以将不同时间扫描得到的大脑皮层配准，定量估算萎缩速率，早期诊断奥兹海默症；在癌症诊断领域，虚拟肠镜方法将患者直肠曲面共形地映射到平面上面，从而将直肠皱褶打开，将息肉标定，将不同时期扫描得的的直肠曲面配准，监控息肉的生长情况，预防直肠癌。在电影、游戏产业，纹理贴图技术被暴雪采用，几何图像技术被虚幻引擎5采用，发展出Nanite虚拟几何技术，实现高速大场景渲染。这些技术的核心都是需要找到某种特定的黎曼度量，离散里奇流算法是最为强有力的计算工具。
在医疗应用中，我们经常需要配准两张人体器官曲面，即寻找一个微分同胚，使得几何畸变最小。这在微分几何中被称为是泰西米勒映射（Teichmuller Map）。在哈密尔顿的博士论文中，他给出了一种基于变分法的理论，从而可以求得泰西米勒映射。在丘先生的指导下，笔者和丘先生的博士后雷乐铭教授一同将哈密尔顿的方法转化成实用算法，广泛应用于医学图像领域。
Fig 4. 虚拟肠镜技术。
理论上，全世界的学者们发展出很多种离散里奇流的方法，但是直到2014年，一直没有方法能够保证解的存在性，所有的算法都会在流的过程中崩溃。2013年暑期访问清华丘先生数学中心期间，我们团队实现了突破。恰如连续里奇流需要在恰当时刻进行拓扑手术，离散里奇流也必须在关键时刻进行拓扑手术。我们2014年完成了理论证明，提交了论文。但是，我们的竞争对手审阅我们的论文拖延了4年，直至2018年，论文才被微分几何杂志接受。我们建立的离散曲面里奇流可以保证解的存在性，唯一性和收敛性。离散曲面里奇流是离散熵能量的梯度流，而离散熵能量是全局严格凸的能量，可以用牛顿法高效优化。近些年来，离散曲面里奇流理论和双曲三维流形的亚历山大刚性定理产生了密切联系，而离散熵能量等价于特定的希尔伯特-爱因斯坦泛函。
Fig. 5 结构化网格生成。
近几年来，工业软件领域的格局发生了天翻地覆的变化，Cadence收购了BetaCAE，Synopsis收购了Ansys，CAE工业正在经历一场伟大的技术革命。在多物理场模拟仿真的流程中，真正的技术瓶颈在于几何，特别是网格生成成为核心难点。传统的非结构化曲面网格生成无法保证网格质量，而里奇流方法将曲面保角映射到平面，而平面的网格生成有质量保证，从而拉回到曲面上得到高质量曲面网格。结构化网格生成一直依赖手工来调节奇异点的设置。通过代数几何方法与里奇流方法结合，我们可以得到自动生成的高质量结构化网格。这些工业技术和医疗技术的突破，本质上都是依赖哈密尔顿的天才发明：里奇流！
Fig. 6 非结构化网格生成。
时至今日，我们随意翻开任何一本三维流形的教材，其核心都是瑟斯顿几何化定理，而大多数书籍都会明确说明这一定理是佩雷尔曼应用里奇流的方法率先得到，但是对于哈密尔顿的功劳却语焉不详。这对哈密尔顿并不公平。诺贝尔奖非常注重思想源头，往往给新观念新方法的提出者颁奖，而非只奖励将新思想发扬光大者。佩雷尔曼因解决了庞加莱猜想而获得千禧年大奖。然而，佩雷尔曼认为哈密顿的贡献与自己相当，因此婉拒了这一殊荣。哈密尔顿对浮名虚利不以为意，一直秉持对数学真理的热爱，坚持用自己的方法来理解和证明瑟斯顿几何化纲领，直至昏迷入院。哈密尔顿也高度赞扬中国数学家对于证明庞加莱猜想的贡献：“一个伟大的猜想，不可能由一个人来完成。中国数学家可以抬起头来，不必谦虚。”
笔者最后一次见到哈密尔顿是在2023年北京雁栖湖，在丘先生举办的世界基础科学大会上。哈密尔顿虽然步履蹒跚，但是依然双目精光四射，充满激情。在今年7月的基础科学大会上，哈密尔顿获得了基础科学终身成就奖，为其学术生涯完美地画上了句号。
这几天，笔者进一步完善离散里奇流的算法，经常通宵达旦地编写调制程序，期望达到工业级别，尽快在工业领域普及。作为目前唯一能够通过曲率计算黎曼度量的方法，里奇流必然会为工业界带来实质性的革命。希望这一天早日到来，以告慰哈密尔顿的在天之灵。
虽然哈密尔顿已经远离我们而去，但是他的思想必将会在人间万世长存！