在用数学模型来揭示这个世界的奥秘方面, 微积分具有难以预料的洞察威力.
非常不幸的是, 对许多学生来说, 积分仅仅限于求面积、体积以及记忆求原函数的种种法则. 许多理由表明, 若不将积分理解为累积, 那么积分教学就是失败的. 我们指出其中三个理由.
首先, 历史告诉我们, 累积是一个直观的过程. 我们粗看一下历史. 古埃及人在发现四棱台的体积公式时几乎肯定应用了某种形式的累加增量. 中国人在公元 5 世纪以前就掌握了求体积的卡瓦列里方法.这是微积分很明显地跨越了文化的一个方面.
其次, 学生必定能掌握可以计算定积分或求出不定积分的软件. 虽然许多积分技巧对它们所提供的结构方面的洞察力来说是重要的, 但只有极少数人需要在课堂以外求原函数. 更有用的是将一个累积问题转化为定积分的能力.
最后, 学生若不能将积分理解为累积, 可能就不会认识到积分在求面积与体积以外的丰富应用. 积分是用来研究具有随时变换的累积量的事物的工具: 走过的距离、完成的工作、赚取的利润、生成的物资、环境恶化或改良的追踪, 等等.
我们甚至可以通过累积来介绍积分从而开始微积分教学. 这是美国亚利桑那州的汤普森 (Thompson) 所采用的方法.他的课程基于对下述本质的洞察: 微积分是研究变化的量之间的函数关系. 一个累积必定是一个函数, 描述在每个自变量值处累积了多少. 定积分首次出现时, 必定作为一个代表上限的变量的函数.
俄克拉荷马州的厄尔特曼开发了让学生通过累积进入积分的一系列练习, 让学生有机会构造对所涉及的原理的理解.
他给学生展示了美国航空航天局的一个月球车, 配上一枚电池可以工作 3 小时, 而且它在 t 时刻的速率为英里/时 (图 6.1). 学生在探究它最多离开机舱多远并仍可在那个时刻掉头时, 就学到了估计在小时间段上的距离. 正如从图像上容易看出的, 速率在前2½小时还多一点儿都是递增的. 更确切地说, 它在
时取得最大值, 此时 t ≈ 2.56 小时. 学生们会迅速领会到, 当速率递增时, 通过取初始时刻的速率与结束时刻的速率, 即可得到所走路程的一个上下界估计. 用一个简单的电子表格程序就足以得到合理的近似. 学生会认识到, 可以选取更短的时间区间以得到更精细的上下界, 从而得到更好的近似. 在此过程中, 可以向他们介绍求和记号, 这对他们所做的事情来说是很方便的. 此时可以向学生展示, 以行走时间为上限变量的积分是一种计量了实际累积的函数. 由于他们在第一次遇到定积分时, 定积分就以累积函数的形式出现, 因此这样一个函数对他们来说印象深刻.
厄尔特曼坚持让学生每一次在选择时间区间的同时记录上界和下界,也为最终引入极限播下了种子. 现代意义下的极限是通过不等式来定义的. 为了给
指定一个值, 就是断言任给两个数, 一个数比指定的数大, 另一个数比指定的数小, 我们可以选取充分小的区间段, 使得和式的值介于这两个数之间.这恰好就是我们所指的定积分作为黎曼和的极限的含义.
我坚持将大多数学生记得 (如果他们记得) 的这个联系积分和微分的定理称为积分学基本定理, 而不是简单的微积分基本定理(fundamental theorem of calculus). 更重要的是, 其背后有更深层次的教学原因. 很多学生很快就忘记了积分的极限定义. 考虑到大多数课程将重点放在了积分的技巧, 而忽略了极限定义的应用, 大多数学生认为积分与求原函数就是一回事, 这一点毫不奇怪. 造成的结果是, 原本应该处于微积分中心地位的定理被简化为一句同义反复.
柯西第一个证明了这个定理, 他证明这个定理就是为了将积分的两种定义联系起来, 一个作为求和的极限, 另一个作为求原函数. 称之为积分学基本定理不仅更准确, 而且提醒我们这个定理的本质在于将对积分的两种不同理解联系起来. 它可以提醒学生, 积分不仅仅是简单的求原函数.
我们可以质疑, 公元 1000 年左右的古印度天文学家是否从现代意义上理解了正弦函数的导数. 不过, 他们研究变化率, 致力于理解输入的微小改变如何影响了输出的改变. 他们已经发现, 在正弦函数的情况下, 这个变化率是一个很容易计算的量, 并且可以用来估计输出的变化量. 比起切线的斜率来, 这是对导数的更直观的介绍. 此外, 它为将导数最终应用到下述情形准备好了基础, 在那些情形中, 我们只知道近似的输入值, 还需要控制住可能的输出值.
我们知道, 即便是微积分课堂上的学生, 理解变化率也很难, 但是他们一旦理解了变化率, 就为将导数理解为切线的斜率打好了扎实的基础. 当我在美国玛卡莱斯特学院教授大一新生第一学期的微积分课程时, 我的大多数学生已经多少见过微积分. 20 多年以来, 我的这门课一直以简单评估他们对微积分的了解为开头. 前两个问题就是问: x³ − 7 在 x = 2 时的瞬时变化率是多少? x³ − 7 在区间 [2, 3] 上的平均变化率是多少? 每个稍微了解一点儿微积分的人都能回答前一个问题. 而这些学生几乎没有一个答得上来后一个问题. 许多人是对在 x = 2 与 x = 3 时的瞬时变化率做平均. 考虑到历史上理解瞬时速度的困难, 奇怪但真实的是, 比起平均速度来, 学生更适应瞬时速度.
我认为对此有一些解释. 第一个解释是, 平均变化率在微积分的先修课程中没有得到基本的强调. 虽然它出现在每一门微积分课程的入门素材中,但很快就被忘记了, 因为学生的注意力转向了微分的种种技巧以及确定瞬时变化率的简单方法. 另一个解释是, 这个术语被称为“平均”. 但它看起来都不像学生在小学和中学学到的任何平均. 最后, 平均变化率是一个比值.
学生很难理解导数的极限定义的重要性. 如果我们试着向学生解释
是从 (x, f(x)) 出发的一条割线的斜率, 而且当 h 趋于 0 时, 就成为该点处切线的斜率, 我们所说的含义就在这些接踵而至的陌生概念中丢失了.事实上, 我们可以从一个描述时刻 t 的累积量的函数出发, 并问它在 t 时刻的累积率是多少. 厄尔特曼让学生估计一支箭射出 2 秒以后的速度, 假定它在 t 时刻的高度为 (图 6.2)
学生们被要求估计这个速度的上界与下界, 并且误差不超过 0.1米/秒,这使他们能够求出近似速度, 并给出近似值的误差范围.
导数的定义对于理解如何求近似变化率是很重要的. 对于在头一年的微积分课程里关于微分定理的证明, 导数的定义在某种程度上都是本质的.但学生同时要对导数作为瞬时变化率有直观的理解, 即一个物体在给定时刻运动得有多快. 这就对第二章所强调的微分的另一个重要方面——微分方程——提供了自然的引导.
纳入纳皮尔在对数方面的工作的一个原因, 就是要强调他在关联变化率方面的工作. 事实上, 他得到了这样的结果, 若 y 是 x 的对数, 则
其中常数 c 依赖于对数的底. 不幸的是, 很少有微积分课讲述了微分方程的威力与重要性. 我喜欢麦克斯韦方程组的故事, 因为它诠释了我们如此关心微积分的一个原因, 在用数学模型来揭示这个世界的奥秘方面, 微积分具有难以预料的洞察威力. 许多革新的微积分课程, 包括最早的一些微积分改革课程, 以及我们目前在玛卡莱斯特学院开设的课程, 都是从微分方程开始的, 并且整个课程都在强调微积分可以建立动态模型. 再一次, 软件技术使得学生可以很容易地探究种种模型: 人口增长、流行病的传播、捕食者与被捕食者模型. 这为围绕微积分的学习提供了激动人心的课题. 对如何完成数值近似的分析架起了一座桥梁, 让导数回到变化率的极限.
导数是一个丰富的概念, 带来了众多新的理解. 但对许多学生来说, 他们唯一的收获就是将 x³ 变成 3x², 这是何其不幸!