引言
在很多的影视作品中，都有扇耳光的剧情，例如电影《幸福59厘米之小马》中就有罗永浩自扇耳光的经典名场面（图 1）。
在 2022 年的第 94 届奥斯卡金像奖颁奖典礼上也出现了扇耳光的一幕：因不满颁奖嘉宾调侃妻子的缺陷（脱发），好莱坞知名影星威尔·史密斯在大庭广众之下狠狠扇了颁奖嘉宾克里斯·洛克一巴掌（图 2）。更搞笑的是，随后的奥斯卡最佳男主角奖还颁给了威尔史密斯。
从史密斯扇洛克巴掌的视频中不难看出，这一巴掌下手可不轻。一个响亮的巴掌可能蕴含着巨大的能量。图 3 显示的是一名男子被抽了一巴掌的慢镜头[1]，从中可以清楚地看到：面部皮肤、组织和骨骼在被抽打的瞬间发生了巨大的挫动。
更有油管网友制作了一台机械巴掌机，并用此机械装置抽熟了一只鸡和一块牛排[2]。
一个巴掌的能量到底有多大？本文将通过分析史密斯扇洛克巴掌的视频，建立模型估计这一巴掌的能量，以及洛克的脸在此过程中受到的冲击力大小。
实验
针对“一个巴掌的力量有多大？”这个问题，德国慕尼黑法医学研究所的生物力学家进行了实验研究[3]。实验通过力学传感器和高速相机记录下了 30 名受试者在轻拍和重拍过程中手掌的位置和冲孔垫的受力。图 5 和 6 是其中一名典型受试者的实验数据。
实验数据表明，典型的轻拍和重拍对冲孔垫的最大作用力可达 120 N 和 1500 N，接触时间 t 大约为 0.012 s 和 0.015 s。
实验中另一名受试者“重拍”时给出了 4417 N 的最大作用力。根据力－时间曲线可以计算出手掌对冲孔垫的冲量和平均作用力：
由此可计算出典型的轻拍和重拍对冲孔垫的冲量约为 10 N·s 和 1 N·s，平均作用力约为 860 N 和 80 N。以上实验结果可用于之后的模型参数估计及模型结果的评价，史密斯打洛克的这一巴掌显然属于“重拍”，并且比实验中的“重拍”似乎更重。
模型
本文将史密斯扇洛克的过程简化为完全非弹性碰撞问题。这个问题涉及多个参数（图 7）：手掌触脸前后手掌的速度 v0 和 vt，手臂的角速度 w0 和 wt，以及手掌触脸（有力作用）的时间长度为 t。接下来先估计这些参数的大小，然后在此基础上建立模型求解该巴掌的力量和能量大小。
参数估计
史密斯挥动手臂的过程可以简化为匀速转动过程（实际上挥臂初期存在短暂的加速），手臂转动角速度可由转过的角度除以转动时间计算。根据对视频（图 2）的逐帧分析，我发现史密斯挥动手臂的过程仅占 2-3 帧，视频的帧率为 30 帧/秒，也就是说史密斯挥手过程的时间大约为 2.5 × 1/30 = 1/12 秒。
由于视频的拍摄角度问题，手臂转动的角度并不能直接观测到。为此，我模仿了图 2 中的过程，我发现我手右臂大约需要旋转 90 度。因此，手臂转动的平均角速度约为
手掌触脸速度可由手臂角速度乘以手臂长度得到。威尔史密斯身高 183 cm[5]，根据身高和臂长的关系（图 8），估计其手臂长度约为 78 cm。因此，手掌触脸速度约为
通过视频还可以估算出手掌与脸的接触时间以及扇完脸后的速度。手掌与脸接触的时间发生在一帧以内，即接触时间 t
完成扇脸后的瞬间手臂剩余的角速度为
手掌平动模型
不少已有模型[6]将扇脸过程简化为手掌与脸的完全非弹性碰撞问题（图 9）。
在这种模型中，手掌以一定的速度与脸发生碰撞，碰撞完成后手掌与头具有相同的速度。根据动量定理：手掌在这个过程中始末的动量变化量等于脸对手掌的冲量，即
其中 F 是脸对手掌的作用力，t = 0.01 s 为作用时间，v0 = 14.7 m/s 和 vt = 3 m/s 为作用前后手掌的速度，m 为手掌的质量。成年男性的手掌质量约占体重的 0.65%，威尔史密斯目前的体重约为 82 kg，因此史密斯一只手的质量约为 m = 82 × 0.65% = 0.533 kg，和一只猪蹄差不多重。将这些参数代入上式可得脸对手掌的作用力大小为
根据牛顿第三定律，手掌对脸的作用力大小等于脸对手掌的作用力。因此，史密斯扇洛克时，洛克的脸受到的平均作用力大小约为 624 N。这个力相当于我 60 kg 的前女友体重。打脸前后，巴掌损失的动能大小为
也就是说，史密斯这一巴掌释放的能量约为 55 J。这个能量有多大呢？大约可以供智能手机待机 9 分钟（假设待机功率为 0.1 w）。但需要注意的是，55 J 的能量中只有一部分转化为了洛克脸和史密斯手掌的热能，另一部分则转化为了洛克头的动能。
模型的结果合理吗？模型计算出洛克的脸受到的平均作用力大小只有约 624 N，而史密斯打洛克的这一巴掌明显比实验中的“重拍”更重。因此，上述模型给出的结果应该比实际值小。此外，还可以通过估算洛克头部的等效质量 来检验模型的合理性。洛克的头在手掌的作用下，速度由 0 变为 vt，根据动量定理：头在这个过程中始末的动量变化量等于手对脸的冲量，即
显然，上式给出的 2.1 kg 明显小于成年人头部的质量。成年人头部的质量一般占体重的 8.3% 左右。对于体重 76 kg 的洛克，其头部质量应为 6.3 kg 左右。因此，上式也表明模型并不合理。
手臂转动模型
上述模型之所以低估了这一巴掌的力量和能量，原因可能是其忽略了手臂与手的连接。手臂在此过程中转动速度发生了变化，也损失了能量。为简化问题，将扇脸简化为杆（手臂）绕固定端（肩关节）旋转时，杆的另一端（手）与脸发生碰撞的过程。
碰撞后杆的非固定端（手）与头具有相同的速度（图 10）。根据动量矩定理：手臂在这个过程中始末的动量矩变化量等于脸对手臂的冲量矩，有
其中 F 是脸对手的作用力（等于手对脸的作用力）, J 为手臂的转动惯量。如果将手臂看成质量为 m、密度为 ρ、长度为 l、截面积为 S 的均质杆，则其转动惯量 J = 1/3 × m × l^2 = ρSl^3/3。因此有
上式表明，一个巴掌的力量与手臂长度平方、截面积（粗度）呈正比。换句话说，越长越粗的手臂，越容易扇出更大力的巴掌。
正常男性的手臂重量约占其体重的 5.7%[7]。威尔史密斯目前的体重约为 82 kg，因此这条手臂的质量约为 m = 82 × 5.7% = 4.7 kg。将手臂简化为长度为 0.78 m，质量为 4.7 kg 的均质杆，则手臂以肩关节为转轴的转动惯量为 J = ml^2/3 = 0.953 kg·m^2。将手臂的转动惯量、与脸作用前后的角速度 w0 = 18.8 rad/s 和 wt = 3.8 rad/s，以及与脸作用的时间长度 t = 0.01 s 代入上式可得脸对手掌的作用力大小为
根据牛顿第三定律，手掌对脸的作用力大小等于脸对手掌的作用力。因此，史密斯扇洛克时，洛克的脸受到的平均作用力大小约为 1833 N。这个力相当于 180 kg 英国大力士的体重。模型的计算结果是否合理呢？相关实验表明，一巴掌的最大作用力可超过 4000 N[8]，因此模型计算出的结果并不夸张。1833 N 的力并不小，看来是有备而来！打脸前后，手臂损失的转动动能大小为
上式表明，一个巴掌的能量与手臂长度立方、截面积（粗度）呈正比。换句话说，越长越粗的手臂，越容易扇出更大能量的巴掌。
这个能量有多大呢？一公斤 TNT 炸药的能量约为 4180 kJ，所以这个巴掌的 TNT 当量约为 0.04 g。根据动量定理，还可以估算出洛克头部的等效质量
这个等效质量比手掌平动模型算出的合理多了，这也表明手臂转动模型更为合理。被扇巴掌后，洛克头部增加的动能为
根据能量守恒，这一巴掌的能量中转化为手和脸的热量为
假设转化为手的热量和转化为脸的热量各占一半。实际上对洛克脸组织造成伤害的能量最终转化为了这部分热量。如果假设洛克的半边脸上的肉质量为 m_ = 0.5 kg，还可以算出这部分热量可使洛克受击打的半边脸升温
其中 C = 2720 J/kg·C 为肉的比热（参考的鸡肉[9]）。由此可见，扇耳光导致的脸部温度增加几乎可以忽略不计。因此，被扇后面部皮肤出现的灼热感大多是疼的。为了验证这个结论，我特地找来了对我恨之入骨的 11 位前女友，在每人给我左脸一巴掌后（我没有闪，且相邻两巴掌的时间间隔低于 1 秒），迅速测量我的左脸温度。测量结果显示左脸温度与右脸几乎没有任何差异（由于场面过于血腥，实验照片不便展示，感兴趣的读者可自行约前女友们开展实验）。
结论
一个巴掌的能量有多大？针对这个问题，本文根据 2022 年奥斯卡颁奖典礼上威尔·史密斯扇克里斯·洛克一巴掌的视频，建立手掌平动模型和手臂转动模型分别计算了这一巴掌的能量和力量。手掌平动模型将打脸过程简化为手掌与脸的完全非弹性碰撞问题。结果显示：史密斯这一巴掌的力量约为 600 N，释放的能量约为 55 J。通过与已有实验结果的对比，本文发现平动模型因忽略了手臂与手的连接，给出的结果明显偏小。考虑到在此过程中手臂的转动角速度发生了变化（损失了能量），本文又建立了手臂转动模型。模型结果表明史密斯这一巴掌的力量超过了 1800 N，释放的能量超过 160 J。与已有实验结果的对比表明手臂转动模型的结果是非常合理的。
此外，本文的模型还表明：想要增加一个巴掌的力量和能量，可以通过增长、增粗手臂，提高击打速度来实现。因此，找一个身材娇小瘦弱的女朋友是多么的重要！
参考资料
[1] fatEguyfilms. Super slow-motion slap in the face, 2012:https://www.youtube.com/watch?v=7AXB8nGq5jc
[2] Louis Weisz. I cooked a chicken by slapping it, 2021:https://www.youtube.com/watch?v=LHFhnnTWMgI
[3] Jiri Adamec, Jutta Schöpfer, Peter Hofer, Stefan Pittner, Matthias Graw, and Fabio Monticelli. Die ohrfeige. teil 1–allgemeines und biomechanik. Rechtsmedizin, 30(1):1–7, 2020:https://link.springer.com/article/10.1007/s00194-019-00362-3
[4] 16HGulick. Correlation between height and average arm length, 2015:https://chart-studio.plotly.com/~16HGulick/11.embed
[5] Becca Bleznak. Will smith net worth 2022: Age, height, weight, wife, kids, bio-wik, 2022:https://www.wealthypersons.com/will-smith-net-worth-2020-2021
[6] Matrix Star. The oscar winner hits people on the spot! how powerful is this slap? 2022:https://lujuba.cc/en/668969.html
[7] Robert Allison. Weight of human body parts as percentages of total body weight, 2012:https://robslink.com/SAS/democd79/body_part_weights.htm
[8] J Adamec, J Schöpfer, P Hofer, S Pittner, M Graw, and Fabio Monticelli. The slap in the face. part 1-general aspects and biomechanics. Rechtsmedizin, 30(1):1–7, 2020:https://google.com
[9] Engineering ToolBox. Food and foodstuff - specific heat, 2003:https://www.engineeringtoolbox.com/specific-heat-capacity-food-d_295.html