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——折纸看起来可能是一件很简单的事情。
上世纪50年代，被誉为“现代折纸之父”的吉泽章在荷兰阿姆斯特丹美术馆举办了折纸作品个展。正是在这场展览上，吉泽章精妙绝伦的折纸作品惊艳了西方世界。80年代，吉泽章为了能够使纸张更具可塑性，发明了“湿折法”，这是一种折叠时将纸润湿，进行塑形后晒干的技法。不久之后，为了方便世界各地折纸爱好者的交流，吉泽章和好友Sam Randlett一起发展了一套国际通用的折纸图解符号和术语，极大促进了现代折纸的发展。
由此，从折纸艺术中逐渐发展出一种拥有严格定义的折纸门类，即“现代折纸”。现代折纸是指，用一张正方形纸，不经任何裁剪和拼贴，单纯依靠折叠完成作品的折纸艺术。下面的两个作品便是现代折纸作品。将一个作品展开，便会得到一张完整的布满折痕的正方形纸，比如下方的《捻角羚》，而这种展开图我们称之为折痕展开图（crease pattern，CP图）。
《鲂鮄》 设计：柏村卓朗
《捻角羚》 设计：加藤
《捻角羚》的折痕展开图
折纸需要强大的数理知识作为支撑。而其中最为基础的，也是最复杂的便是“折纸七大公理”。它们构建出了整个折纸世界，没有任何一步折纸操作可以逾越这短短的七句话。
折纸七大公理，又被称为“藤田羽鸟公理”或“藤田贾斯汀公理”，是Jacques Justin在1989年发现的，并由藤田文章在1991年重新发现了公理1-6，羽鸟公士郎在2001年重新发现了公理7。
下面让我们一起回想一下初中平面几何的知识吧。
尺规作图求两点之间的中垂线的话，需要几步？
学习过初等几何的同学们都知道，这是一个很定式的解法：
（1）以其中一点为圆心，任意大于两点之间距离一半的长度为半径，在两点之间划一段弧；
（2）以另一点为圆心，同样长度为半径，在两点之间划一段弧；
（3）两段圆弧的交点连线即为所求。
但是如果不用尺规作图，可不可以用更少的步数求得中垂线呢？
其实我们只要跳出尺规的束缚，就很容易想到一个只需要一步的解题方法，那就是将两个点放在一张纸上，然后重合两点，压实折痕，便可以发现，折痕就是中垂线。
而在这不知不觉间，你就已经习得了七大公理之一，那就是：
已知两点P1、P2，则P1可以通过唯一折叠与P2重合（点到点折叠）。（公理二）
想一想，平面几何公理中最为简单的一条是什么？
——过任意两点可以确定一条直线。
所以可以类推，折纸几何公理中最为简单的一条也就是：
已知点P1与点P1，则有且仅有一条折痕可同时通过P1、P2两点。（公理一）
那如果把第一条的两个点，换成两条线会怎么样呢？在平面几何中，两线平行，相当于是在求一条到两条线距离相等的直线；如果两线相交，则相当于是在求两线所成角的角平分线。无论是哪种情况，单纯靠尺规作图的话，都无法一步求得。
而采用折叠的话，就可以像公理二一样，将两条线重合，折痕即为所得：
已知两直线L1、L2，则L1可以通过唯一折叠与L2重合（线到线折叠）。（公理三）
若继续考虑平面几何中的垂线问题的话，我们都知道：
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
我们现在需要考虑一下，折纸中如何对一条直线做垂线。其实很简单，将该直线对折即可。那么如果是过一已知点对折的话，折痕唯一。那么就有：
已知点P1及直线L1，则有且只有一条折痕通过点P1并垂直于直线L1。（公理四）
以上四个定理有一个共同的特点，那就是每个定理都蕴含着“唯一性”。也就是说，这四个定理所对应的折叠，都是唯一解。这种唯一性，多脱胎于其假设的条件只有两个：两个点，或两条直线，或一个点与一条直线。而接下来的三个定理假设条件均多于两个，也就造就了其存在多个解。
已知两点P1、P2与直线L1，则可将P1折叠至L1上，并使折痕通过P2。（公理五）
已知两点P1、P2与两直线L1、L2，则可将P1、P2分别折叠至L1、L2上。（公理六）
已知点P1与两直线L1、L2，则可将P1折叠至L1上，并使折痕垂直于l2。（公理七）
如果我们从另一个角度来解析这七个公理的话，也许会有一种新的理解：如果我们把折纸世界的一切动作都拆解成最小单元的话，可以拆解为哪几种呢？
（1）过已知点折叠；
（2）已知直线对折；
（3）点到点折叠；
（4）线到线折叠；
（5）点到线折叠。
以上五种操作单元，有有限个解的只有（3）和（4），而（1）、（2）和（5）都有无限个解。有无限个解的理论作为一条公理显然不太合适，那我们试图将三个有无限个解的操作单元两两组合一下，就有了（1）+（1）、（1）+（2）、（1）+（5）、（2）+（2）、（2）+（5）和（5）+（5）六种，不过由于并不存在一种操作可以同时对折两条不平行的直线，（2）+（2）是不成立的。而且如果我们进一步将三种操作单元合在一起的话，会发现各种组合都无法在一次折叠中完成。所以可行的七种组合为：
（1）+（1） （公理一）
（3） （公理二）
（4） （公理三）
（1）+（2） （公理四）
（1）+（5） （公理五）
（5）+（5） （公理六）
（2）+（5） （公理七）
正好分别对应七个公理。
公理五、六、七多点多线之间的集体操作，赋予了折纸不同于传统尺规作图的能力。例如，化圆为方、三等分角及倍立方体（上图由左至右）这三个被称为“三大尺规作图不可能问题”中的后两个，都可以用折纸公理六解决。
三等分角，顾名思义是将一给定角三等分。
折纸作图三等分锐角∠α：
（1）将∠α的顶点置于正方形纸的一个顶点上；
（2）将该正方形横向四等分；
（3）将∠α的顶点折叠至四等分线m上，且使AC中点E恰好落在∠α的一边（l）上；
（4）折叠后的m的延长线n，即为∠α的一条三等分线。
倍立方体是说，做一个立方体，使其体积是边长为1的立方体的二倍。换句话说，就是做一个边长为的立方体。就是这么一个简单的问题，已经被数学家们从理论上判了死刑——仅凭尺规是无法完成这个任务的。
那是不是就说明这项任务就不可完成了呢？当然不是，别忘了本文的主题，我们通过折纸作图就可以很轻松地解决这道难题。
折纸作图解倍立方体：
（1）将正方形纸横向三等分；
（2）将C点折叠至AD边上，且使BC的三等分点E恰好落在三等分线l上；
（3）若CD=1，则AC=2的3次方根。
本部分大家可以自己证明一下，运用简单的几何知识就可以证明了。
最后考一考大家，以下折纸步骤反映了哪条公理呢？
（撰稿：王懿峥）
清华大学学生纸艺社简介
清华大学学生纸艺社成立于2014年，致力于传播现代折纸艺术知识，为全校师生展示现代折纸艺术的魅力，并努力创作优秀的原创作品。社团每学期都会在李文正馆展厅举行大型的折纸作品展览。
社团活动剪影
2019年108年校庆展览上纸艺社的展品：《1911-2019》
纸艺社与艺术博物馆合作举行的折纸工作坊
说明：本文经清华大学学生纸艺社授权发布。
责编：林子祥