本文证明了没有算法可判定任一个有11个变元的整系数多项式方程是否有整数解，这是整数环上希尔伯特第十问题限制未知数个数后的目前最好记录。
在1900年的巴黎国际数学家大会上，德国数学家希尔伯特（Hilbert）提出了著名的23个数学难题；对这些问题的研究有力地推动了二十世纪数学的发展。古希腊数学家丢番图首先研究方程的整数解问题，数论中把涉及整数解的方程统称为丢番图方程；希尔伯特23个问题中的第十个要求找出一个一般算法可用以判定任意一个整系数多项式丢番图方程（不管有多少个未知数）是否有整数解。
20世纪30年代，Godel, Kleene与Turing等人发展出可计算性理论（递归论），弄清了计算的本质，算法才有了明确的含义。1961年Davis, Putnam与 Robinson在Annals of Mathematics上发表重要论文，证明了不存在一般算法可用以判定任意一个指数丢番图方程是否有自然数解。1970年苏联数学家Matiyasevich利用Fibonacci数列的深刻性质证明了可用多项式丢番图方程是否有自然数解来刻画指数关系，由此结合Davis-Putnam-Robinson定理即可得到不存在一般算法可用以判定任意一个整系数多项式丢番图方程是否有整数解，这样希尔伯特第十问题终于在被提出七十年后获得了否定解决。
对于非零的一元整系数多项式P(x), 如果存在非零整数z使得P(z)=0, 易见|z|不超过P(x)各系数绝对值的和。所以存在（多项式时间）算法可判定一元整系数多项式方程是否有整数解。Baker曾证明对于高于二次的齐次不可约整系数多项式P(x,y)以及非零整数c, 存在一般算法可找出P(x,y)=c的全部（只有有限个）整数解；Baker的这个著名工作使得他获得了1970年的菲尔兹奖。希尔伯特第十问题在1970年被否定解决之后，数学家关注具有多少个自然数或整数变元的一般多项式丢番图方程的可解性就不可判定了。经过Matiyasevich与Robinson几年的努力，他们在Acta Arithmetica上发表论文证明了不存在算法可用以判定任意一个有13个变元的整系数多项式方程是否有自然数解。1975年Matiyasevich又宣布他把13降到了9，即不存在算法可用以判定任意一个有9个未知数的整系数多项式方程是否有自然数解。Matiyasevich对这个9未知数定理的证明细节直到1982年才出现在Jones发表于Journal of Symbolic Logic的论文中。
对怎样小的m值就不存在算法可判定一般的含m个未知数的整系数多项式方程P(z1,…,zm)=0是否有整数解？考虑到全体整数构成整环Z而自然数集N依加乘法并不构成环, 这个更自然的问题对数论来说有着基本的重要性，况且希尔伯特第十问题原本关注的就是整数环Z上的多项式方程整数解。根据数论中的三平方和定理，每个自然数都可写成x2+y2+z2+z的形式，这里x,y,z为整数；由此及9未知数定理，Shih Ping Tung(董世平)在1985年得到上面的m可取3*9=27， 他在文中问27能否再降下来。在发表于1992年的一篇论文中，孙智伟证明了迄今仍最好的相对性结果：如果含n个未知数的一般多项式方程在N上可解性不可判定，那么含2n+2个未知数的一般多项式方程在Z上可解性就不可判定；根据这个相对性结果与9未知数定理，他推出具有2*9+2=20个未知数的一般多项式方程在整数环上可解性不可判定。
在1992年的博士学位论文中，孙智伟通过艰难复杂的推导证明了上面的20可降到11， 即有下述11未知数定理：不存在算法可用以判定任意一个具有11个未知数的整系数多项式方程是否有整数解。在1992年发表于Science China Series A的一篇论文中，孙智伟研究了Lucas序列和指数关系在整数环上的少变量丢番图表示，这为证明11未知数定理作了重要的准备。作者在1992年的两篇论文中宣布了11未知数定理，此结果受到同行的关注与多次引用，维基百科关于希尔伯特第十问题的两个条目“Diophantineset”与“Hilbert’s tenth problem”都提到了这个记录。近三十年过去了，此记录从未被超越，也没有人重新证出这结果。
鉴于11未知数定理的重要性以及越来越多同行（包括希尔伯特第十问题解决者Matiyasevich院士）渴望看到其证明细节，作者下定决心不顾繁杂写作了本文，给出11未知数定理全部证明细节。该文甚至证明了比9未知数定理与11未知数定理都强的下述结果：不存在算法可用来判定任给的具9个变元的整系数多项式方程P(z1,…,z8,z9)=0是否有满足z9≥0的整数解。该文还通过改造11未知数定理的证明获得下述全新结果：不存在算法可用以判定对任给的多项式P(x1,…,x17)∈Z[x1,…,x17]方程P(x12,…,x172)=0是否有整数解。由于采用整数变元而非自然数变元，作者不得不对原有的涉及自然数变元的9未知数定理的证明大加改造，在证明中采用一些新技巧来克服诸多技术上的障碍以尽量绕开不等式。
该文预印本在2017年公开于arXiv.org [编号为arXiv:1704.03504]，所获结果已产生一些有趣的应用。例如：三位欧洲学者Matos, Paolini和Roversi在发表于Theoretical Computer Science[2020, 813: 143-154]的论文中把11未知数定理应用到程序设计语言SRL不动点问题的研究上。又如：Mayiyasevich与作者 [arXiv:2002.121136, 将发表于2019年亚洲逻辑大会会议录]利用11未知数定理证明了没有算法可判定任给的具有52个未知数的整系数多项式方程在高斯整数环Z[i]={a+bi:a,b∈Z}上是否有解。
作者相信，在整数环上希尔伯特第十问题方面， 11未知数定理这个记录还将保持相当长一段时间，并产生越来越多的应用。
作者简介：
孙智伟，1965年10月生。现为南京大学数学系教授、博士生导师，数学系数学与应用数学专业主任, 中国数学会组合与图论专业委员会副主任。其研究方向为组合数论与加法组合。他获过多项荣誉与奖励，包括教育部首届青年教师奖、国家杰出青年科学基金与国务院政府特殊津贴。他在组合与数论交叉领域有许多创新成果, 迄今已发表了两百多篇学术论文。他还提出了许多原创性数学猜想，引起一些国际著名数学家的关注与研究。